Observability is a fundamental concept in system inference and estimation. This paper is focused on structural observability analysis of Cartesian product networks. Cartesian product networks emerge in variety of applications including in parallel and distributed systems. We provide a structural approach to extend the structural observability of the constituent networks (referred as the factor networks) to that of the Cartesian product network. The structural approach is based on graph theory and is generic. We introduce certain structures which are tightly related to structural observability of networks, namely parent Strongly-Connected-Component (parent SCC), parent node, and contractions. The results show that for particular type of networks (e.g. the networks containing contractions) the structural observability of the factor network can be recovered via Cartesian product. In other words, if one of the factor networks is structurally rank-deficient, using the other factor network containing a spanning cycle family, then the Cartesian product of the two nwtworks is structurally full-rank. We define certain network structures for structural observability recovery. On the other hand, we derive the number of observer nodes--the node whose state is measured by an output-- in the Cartesian product network based on the number of observer nodes in the factor networks. An example illustrates the graph-theoretic analysis in the paper.

中文翻译：

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通过笛卡尔积恢复复合网络的结构可观测性

可观察性是系统推理和估计中的一个基本概念。本文重点研究笛卡尔积网络的结构可观测性分析。笛卡尔积网络出现在各种应用中，包括并行和分布式系统。我们提供了一种结构方法来将构成网络（称为因子网络）的结构可观察性扩展到笛卡尔积网络的结构可观察性。结构方法基于图论并且是通用的。我们引入了某些与网络的结构可观察性密切相关的结构，即父强连接组件（父 SCC）、父节点和收缩。结果表明，对于特定类型的网络（例如 包含收缩的网络）因子网络的结构可观察性可以通过笛卡尔积恢复。换句话说，如果其中一个因子网络在结构上是秩亏的，使用另一个因子网络包含一个生成环族，那么这两个 nwtworks 的笛卡尔积在结构上是满秩的。我们为结构可观察性恢复定义了某些网络结构。另一方面，我们根据因子网络中观察者节点的数量推导出笛卡尔乘积网络中观察者节点的数量——其状态由输出测量的节点。一个例子说明了论文中的图论分析。使用另一个包含生成环族的因子网络，那么两个 nwtworks 的笛卡尔积在结构上是满秩的。我们为结构可观察性恢复定义了某些网络结构。另一方面，我们根据因子网络中观察者节点的数量推导出笛卡尔乘积网络中观察者节点的数量——其状态由输出测量的节点。一个例子说明了论文中的图论分析。使用另一个包含生成环族的因子网络，那么两个 nwtworks 的笛卡尔积在结构上是满秩的。我们为结构可观察性恢复定义了某些网络结构。另一方面，我们根据因子网络中观察者节点的数量推导出笛卡尔乘积网络中观察者节点的数量——其状态由输出测量的节点。一个例子说明了论文中的图论分析。