Let $S$ be a deeply embedded, equicharacteristic, Artinian Gorenstein local ring. We prove that if $R$ is a non-Gorenstein quotient of $S$ of small colength, then every totally reflexive $R$-module is free. Indeed, the second syzygy of the canonical module of $R$ has a direct summand $T$ which is a test module for freeness over $R$ in the sense that if $\mathrm{Tor}_+^R(T,N)=0$, for some finitely generated $R$-module $N$, then $N$ is free.

中文翻译：

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靠近 Gorenstein 的环上的完全自反模块

让 $S$ 是一个深深嵌入的、等特征的、Artinian Gorenstein 局部环。我们证明，如果 $R$ 是小 colength 的 $S$ 的非 Gorenstein 商，那么每个完全自反的 $R$-module 都是免费的。实际上，$R$ 的规范模块的第二个syzygy 有一个直接被加数$T$，它是一个测试模块，用于测试$R$ 的自由度，如果$\mathrm{Tor}_+^R(T,N )=0$，对于某些有限生成的 $R$-module $N$，则 $N$ 是免费的。