An attractor decomposition meta-algorithm for solving parity games is given that generalizes the classic McNaughton-Zielonka algorithm and its recent quasi-polynomial variants due to Parys (2019), and to Lehtinen, Schewe, and Wojtczak (2019). The central concepts studied and exploited are attractor decompositions of dominia in parity games and the ordered trees that describe the inductive structure of attractor decompositions. The main technical results include the embeddable decomposition theorem and the dominion separation theorem that together help establish a precise structural condition for the correctness of the universal algorithm: it suffices that the two ordered trees given to the algorithm as inputs embed the trees of some attractor decompositions of the largest dominia for each of the two players, respectively. The universal algorithm yields McNaughton-Zielonka, Parys's, and Lehtinen-Schewe-Wojtczak algorithms as special cases when suitable universal trees are given to it as inputs. The main technical results provide a unified proof of correctness and deep structural insights into those algorithms. A symbolic implementation of the universal algorithm is also given that improves the symbolic space complexity of solving parity games in quasi-polynomial time from $O(d \lg n)$---achieved by Chatterjee, Dvo\v{r}\'{a}k, Henzinger, and Svozil (2018)---down to $O(\lg d)$, where $n$ is the number of vertices and $d$ is the number of distinct priorities in a parity game. This not only exponentially improves the dependence on $d$, but it also entirely removes the dependence on $n$.

中文翻译：

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奇偶博弈的通用吸引子分解算法

给出了一种用于解决奇偶博弈的吸引子分解元算法，它概括了经典的 McNaughton-Zielonka 算法及其最近由 Parys（2019）和 Lehtinen、Schewe 和 Wojtczak（2019）提出的拟多项式变体。研究和利用的中心概念是奇偶博弈中支配权的吸引子分解和描述吸引子分解归纳结构的有序树。主要技术成果包括可嵌入分解定理和支配分离定理，它们共同为通用算法的正确性建立了精确的结构条件：作为输入给算法的两个有序树嵌入一些吸引子分解的树就足够了两个玩家各自拥有的最大领域。通用算法产生 McNaughton-Zielonka、Parys 和 Lehtinen-Schewe-Wojtczak 算法作为特殊情况，当合适的通用树被提供给它作为输入时。主要技术结果为这些算法的正确性和深入的结构提供了统一的证明。还给出了通用算法的符号实现，它提高了在拟多项式时间内求解奇偶游戏的符号空间复杂度，从 $O(d \lg n)$ --- Chatterjee 实现，Dvo\v{r}\' {a}k、Henzinger 和 Svozil (2018) --- 下降到 $O(\lg d)$，其中 $n$ 是顶点数，$d$ 是奇偶校验游戏中不同优先级的数量。这不仅成倍地提高了对 $d$ 的依赖，而且还完全消除了对 $n$ 的依赖。和 Lehtinen-Schewe-Wojtczak 算法作为特殊情况，当合适的通用树作为输入时。主要技术结果为这些算法的正确性和深入的结构提供了统一的证明。还给出了通用算法的符号实现，它提高了在拟多项式时间内求解奇偶游戏的符号空间复杂度，从 $O(d \lg n)$ --- Chatterjee 实现，Dvo\v{r}\' {a}k、Henzinger 和 Svozil (2018) --- 下降到 $O(\lg d)$，其中 $n$ 是顶点数，$d$ 是奇偶校验游戏中不同优先级的数量。这不仅成倍地提高了对 $d$ 的依赖，而且还完全消除了对 $n$ 的依赖。和 Lehtinen-Schewe-Wojtczak 算法作为特殊情况，当合适的通用树作为输入时。主要技术结果为这些算法的正确性和深入的结构提供了统一的证明。还给出了通用算法的符号实现，它提高了在拟多项式时间内求解奇偶游戏的符号空间复杂度，从 $O(d \lg n)$ --- Chatterjee 实现，Dvo\v{r}\' {a}k、Henzinger 和 Svozil (2018) --- 下降到 $O(\lg d)$，其中 $n$ 是顶点数，$d$ 是奇偶校验游戏中不同优先级的数量。这不仅成倍地提高了对 $d$ 的依赖，而且还完全消除了对 $n$ 的依赖。主要技术结果为这些算法的正确性和深入的结构提供了统一的证明。还给出了通用算法的符号实现，它提高了在拟多项式时间内求解奇偶游戏的符号空间复杂度，从 $O(d \lg n)$ --- Chatterjee 实现，Dvo\v{r}\' {a}k、Henzinger 和 Svozil (2018) --- 下降到 $O(\lg d)$，其中 $n$ 是顶点数，$d$ 是奇偶校验游戏中不同优先级的数量。这不仅成倍地提高了对 $d$ 的依赖，而且还完全消除了对 $n$ 的依赖。主要技术结果为这些算法的正确性和深入的结构提供了统一的证明。还给出了通用算法的符号实现，它提高了在拟多项式时间内求解奇偶游戏的符号空间复杂度，从 $O(d \lg n)$ --- Chatterjee 实现，Dvo\v{r}\' {a}k、Henzinger 和 Svozil (2018) --- 下降到 $O(\lg d)$，其中 $n$ 是顶点数，$d$ 是奇偶校验游戏中不同优先级的数量。这不仅成倍地提高了对 $d$ 的依赖，而且还完全消除了对 $n$ 的依赖。还给出了通用算法的符号实现，它提高了在拟多项式时间内求解奇偶游戏的符号空间复杂度，从 $O(d \lg n)$ --- Chatterjee 实现，Dvo\v{r}\' {a}k、Henzinger 和 Svozil (2018) --- 下降到 $O(\lg d)$，其中 $n$ 是顶点数，$d$ 是奇偶校验游戏中不同优先级的数量。这不仅成倍地提高了对 $d$ 的依赖，而且还完全消除了对 $n$ 的依赖。还给出了通用算法的符号实现，它提高了在拟多项式时间内求解奇偶游戏的符号空间复杂度，从 $O(d \lg n)$ --- Chatterjee 实现，Dvo\v{r}\' {a}k、Henzinger 和 Svozil (2018) --- 下降到 $O(\lg d)$，其中 $n$ 是顶点数，$d$ 是奇偶校验游戏中不同优先级的数量。这不仅成倍地提高了对 $d$ 的依赖，而且还完全消除了对 $n$ 的依赖。