This paper proves that if $G$ is a planar graph without 4-cycles and $l$-cycles for some $l\in\{5, 6, 7\}$, then there exists a matching $M$ such that $AT(G-M)\leq 3$. This implies that every planar graph without 4-cycles and $l$-cycles for some $l\in\{5, 6, 7\}$ is 1-defective 3-paintable.

中文翻译：

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没有长度为 4 和 l 的圈的平面图的 Alon-Tarsi 数

本文证明，如果$G$是一个没有4-循环和$l$-循环的平面图，对于某些$l\in\{5, 6, 7\}$，则存在匹配的$M$使得$ AT(GM)\leq 3$。这意味着对于某些 $l\in\{5, 6, 7\}$ 没有 4-cycles 和 $l$-cycles 的每个平面图都是 1-defective 3-paintable。