We introduce the combinatorial optimization problem Time Disjoint Walks (TDW), which has applications in collision-free routing of discrete objects (e.g., autonomous vehicles) over a network. This problem takes as input a digraph $G$ with positive integer arc lengths, and $k$ pairs of vertices that each represent a trip demand from a source to a destination. The goal is to find a walk and delay for each demand so that no two trips occupy the same vertex at the same time, and so that a min-max or min-sum objective over the trip durations is realized. We focus here on the min-sum variant of Time Disjoint Walks, although most of our results carry over to the min-max case. We restrict our study to various subclasses of DAGs, and observe that there is a sharp complexity boundary between Time Disjoint Walks on oriented stars and on oriented stars with the central vertex replaced by a path. In particular, we present a poly-time algorithm for min-sum and min-max TDW on the former, but show that min-sum TDW on the latter is NP-hard. Our main hardness result is that for DAGs with max degree $\Delta\leq3$, min-sum Time Disjoint Walks is APX-hard. We present a natural approximation algorithm for the same class, and provide a tight analysis. In particular, we prove that it achieves an approximation ratio of $\Theta(k/\log k)$ on bounded-degree DAGs, and $\Theta(k)$ on DAGs and bounded-degree digraphs.

中文翻译：

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关于时间不相交游走的近似性

我们介绍了组合优化问题 Time Disjoint Walks (TDW)，它在网络上离散对象（例如，自动驾驶汽车）的无碰撞路由中具有应用。该问题将具有正整数弧长的有向图 $G$ 和 $k$ 对顶点作为输入，每个顶点对表示从源到目的地的行程需求。目标是为每个需求找到步行和延迟，以便不会有两次行程同时占据同一顶点，从而实现行程持续时间的最小-最大或最小总和目标。我们在这里关注的是 Time Disjoint Walks 的 min-sum 变体，尽管我们的大多数结果都适用于 min-max 情况。我们将研究限制在 DAG 的各种子类上，并观察到定向星上的 Time Disjoint Walks 和中心顶点被路径替换的定向星之间存在明显的复杂性边界。特别是，我们提出了一种用于前者的 min-sum 和 min-max TDW 的多时间算法，但表明后者的 min-sum TDW 是 NP-hard 的。我们的主要硬度结果是，对于最大度数 $\Delta\leq3$ 的 DAG，min-sum Time Disjoint Walks 是 APX 难的。我们为同一类提出了一种自然逼近算法，并提供了严格的分析。特别是，我们证明了它在有界 DAG 上实现了 $\Theta(k/\log k)$ 的近似比，在 DAG 和有界有向图上实现了 $\Theta(k)$ 的近似比。但表明后者的最小总和 TDW 是 NP 难的。我们的主要硬度结果是，对于最大度数 $\Delta\leq3$ 的 DAG，min-sum Time Disjoint Walks 是 APX 难的。我们为同一类提出了一种自然逼近算法，并提供了严格的分析。特别是，我们证明了它在有界 DAG 上实现了 $\Theta(k/\log k)$ 的近似比，在 DAG 和有界有向图上实现了 $\Theta(k)$ 的近似比。但表明后者的最小总和 TDW 是 NP 难的。我们的主要硬度结果是，对于最大度数 $\Delta\leq3$ 的 DAG，min-sum Time Disjoint Walks 是 APX 难的。我们为同一类提出了一种自然逼近算法，并提供了严格的分析。特别是，我们证明了它在有界 DAG 上实现了 $\Theta(k/\log k)$ 的近似比，在 DAG 和有界有向图上实现了 $\Theta(k)$ 的近似比。