We study the convective patterns that arise in a nearly semicylindrical cavity fed in with hot fluid at the upper boundary, bounded by a cold, porous semicircular boundary at the bottom, and infinitely extended in the third direction. While this configuration is relevant to continuous casting processes that are significantly more complex, we focus on the flow patterns associated with the particular form of mixed convection that arises in it. Linear stability analysis (LSA) and direct numerical simulations (DNS) are conducted, using the spectral-element method to identify observable states. The nature of the bifurcations is determined through Stuart–Landau analysis for completeness. The base flow consists of two counter-rotating rolls driven by the baroclinic imbalance due to the curved isothermal boundary. These are, however, suppressed by the through-flow, which is found to have a stabilising influence as soon as the Reynolds number $Re$ based on the through-flow exceeds 25. For a sufficiently high Rayleigh number, this base flow is linearly unstable to three different modes, depending on $Re$ . For $Re\leqslant 75$ , the rolls destabilise through a supercritical bifurcation into a travelling wave. For $100\leqslant Re\leqslant 110$ , a subcritical bifurcation leads to a standing oscillatory mode, whereas for $Re\geqslant 150$ , the unstable mode is non-oscillatory and grows out of a supercritical bifurcation. The DNS confirm that in all cases the dominant mode returned by the LSA precisely matches the topology and evolution of the flow patterns that arise out of the fully nonlinear dynamics.

中文翻译：

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空腔中的混合斜压对流

我们研究了在上部边界处注入热流体的近半圆柱形腔中出现的对流模式，底部以冷的多孔半圆形边界为界，并在第三方向无限延伸。虽然这种配置与更复杂的连续铸造工艺相关，但我们关注的是与其中出现的特定混合对流形式相关的流动模式。进行线性稳定性分析 (LSA) 和直接数值模拟 (DNS)，使用谱元方法识别可观察状态。分岔的性质是通过 Stuart-Landau 分析来确定完整性的。基流由两个反向旋转的滚子组成，这些滚子由弯曲的等温边界引起的斜压不平衡驱动。然而，这些是 被通流抑制，一旦基于通流的雷诺数 $Re$ 超过 25，就会发现它具有稳定影响。 对于足够高的瑞利数，该基流对于三种不同的模式是线性不稳定的，取决于 $Re$ 。对于 $Re\leqslant 75$ ，滚动通过超临界分岔不稳定成为行波。对于 $100\leqslant Re\leqslant 110$ ，亚临界分岔导致常态振荡模式，而对于 $Re\geqslant 150$ ，不稳定模式是非振荡的，并且从超临界分岔中生长出来。DNS 确认在所有情况下，LSA 返回的主导模式都与完全非线性动力学产生的流型的拓扑和演变精确匹配。一旦基于通流的雷诺数 $Re$ 超过 25，就会发现其具有稳定影响。对于足够高的瑞利数，该基流对于三种不同的模式是线性不稳定的，这取决于 $Re$。对于 $Re\leqslant 75$ ，滚动通过超临界分岔不稳定成为行波。对于 $100\leqslant Re\leqslant 110$ ，亚临界分岔导致常态振荡模式，而对于 $Re\geqslant 150$ ，不稳定模式是非振荡的，并且从超临界分岔中生长出来。DNS 确认在所有情况下，LSA 返回的主导模式都与完全非线性动力学产生的流型的拓扑和演变精确匹配。一旦基于通流的雷诺数 $Re$ 超过 25，就会发现其具有稳定影响。对于足够高的瑞利数，该基流对于三种不同的模式是线性不稳定的，这取决于 $Re$。对于 $Re\leqslant 75$ ，滚动通过超临界分岔不稳定成为行波。对于 $100\leqslant Re\leqslant 110$ ，亚临界分岔导致常态振荡模式，而对于 $Re\geqslant 150$ ，不稳定模式是非振荡的，并且从超临界分岔中生长出来。DNS 确认在所有情况下，LSA 返回的主导模式都与完全非线性动力学产生的流型的拓扑和演变精确匹配。这个基流对于三种不同的模式是线性不稳定的，这取决于 $Re$ 。对于 $Re\leqslant 75$ ，滚动通过超临界分岔不稳定成为行波。对于 $100\leqslant Re\leqslant 110$ ，亚临界分岔导致常态振荡模式，而对于 $Re\geqslant 150$ ，不稳定模式是非振荡的，并且从超临界分岔中生长出来。DNS 确认在所有情况下，LSA 返回的主导模式都与完全非线性动力学产生的流型的拓扑和演变精确匹配。这个基流对于三种不同的模式是线性不稳定的，这取决于 $Re$ 。对于 $Re\leqslant 75$ ，滚动通过超临界分岔不稳定成为行波。对于 $100\leqslant Re\leqslant 110$ ，亚临界分岔导致常态振荡模式，而对于 $Re\geqslant 150$ ，不稳定模式是非振荡的，并且从超临界分岔中生长出来。DNS 确认在所有情况下，LSA 返回的主导模式都与完全非线性动力学产生的流型的拓扑和演变精确匹配。亚临界分叉导致常态振荡模式，而对于 $Re\geqslant 150$ ，不稳定模式是非振荡的，并且从超临界分叉中生长出来。DNS 确认在所有情况下，LSA 返回的主导模式都与完全非线性动力学产生的流型的拓扑和演变精确匹配。亚临界分叉导致常态振荡模式，而对于 $Re\geqslant 150$ ，不稳定模式是非振荡的，并且从超临界分叉中生长出来。DNS 确认在所有情况下，LSA 返回的主导模式都与完全非线性动力学产生的流型的拓扑和演变精确匹配。