Let $p>3$ be a fixed prime. For a supersingular elliptic curve E over ${\mathbb{F}}_p$, a result of Ibukiyama tells us that $\mathrm{End}(E)$ is a maximal order $\mathcal{O}(q)$ (resp. ${\mathcal{O}}^{\prime }(q)$) in $\mathrm{End}(E)\otimes \mathbb{Q}$ indexed by a (non-unique) prime q satisfying $q\equiv 3\mathrm{mod}8$ and the quadratic residue $\left(\frac{p}{q}\right)=-1$ if $\frac{1+\pi }{2}\notin \mathrm{End}(E)$ (resp. $\frac{1+\pi }{2}\in \mathrm{End}(E)$), where $\pi =((x,y)\mapsto (x^p,y^p)$ is the absolute Frobenius. Let $q_{\mathcal{j}}$ denote the minimal q for E whose $\mathcal{j}$-invariant $\mathcal{j}(E)=\mathcal{j}$ and $M(p)$ denote the maximum of $q_{\mathcal{j}}$ for all supersingular $\mathcal{j}\in {\mathbb{F}}_p$. Firstly, we determine the neighborhood of the vertex $[E]$ with $\mathcal{j}\notin \{0,1728\}$ in the supersingular ℓ-isogeny graph if $\frac{1+\pi }{2}\notin \mathrm{End}(E)$ and $p>q_{\mathcal{j}}{\ell }^2$ or $\frac{1+\pi }{2}\in \mathrm{End}(E)$ and $p>4q_{\mathcal{j}}{\ell }^2$: there are either $\ell -1$ or $\ell +1$ neighbors of $[E]$, each of which connects to $[E]$ by one edge and at most two of which are defined over ${\mathbb{F}}_p$. We also give examples to illustrate that our bounds are tight. Next, under GRH, we obtain explicit upper and lower bounds for $M(p)$, which were not studied in the literature as far as we know. To make the bounds useful, we estimate the number of supersingular elliptic curves with $q_{\mathcal{j}}<c\sqrt{p}$ for $c=4$ or $\frac{1}{2}$. In the appendix, we compute $M(p)$ for all $p<2000$ numerically. Our data show that $M(p)>\sqrt{p}$ except $p=11$ or 23 and $M(p)<p{\log }^{2}p$ for all p.

让 $p>3$成为固定的素数。对于超奇异椭圆曲线E over${\mathbb{F}}_p$，Ibukiyama的结果告诉我们 $\mathrm{结束}（Ë）$ 是最大阶数 $\mathcal{Ø}（q）$ （分别 ${\mathcal{Ø}}^{\prime }（q）$）在 $\mathrm{结束}（Ë）\otimes \mathbb{问}$由满足以下条件的（非唯一）质数q索引$q\equiv 3\mathrm{模}8$ 和二次残基 $（\frac{p}{q}）=-\mathrm{1个}$ 如果 $\frac{\mathrm{1个}+\pi }{2}\notin \mathrm{结束}（Ë）$ （分别 $\frac{\mathrm{1个}+\pi }{2}\in \mathrm{结束}（Ë）$），在哪里 $\pi =（（X，ÿ）\mapsto （X^p，{ÿ}^p）$是绝对的Frobenius。让$q_{\mathcal{Ĵ}}$表示最小q为Ë其$\mathcal{Ĵ}$不变的 $\mathcal{Ĵ}（Ë）=\mathcal{Ĵ}$ 和 $\mathrm{中号}（p）$ 表示最大 $q_{\mathcal{Ĵ}}$ 对于所有超奇 $\mathcal{Ĵ}\in {\mathbb{F}}_p$。首先，我们确定顶点的邻域$[Ë]$ 与 $\mathcal{Ĵ}\notin \{0，1728\}$在超奇异ℓ -isogeny图表如果$\frac{\mathrm{1个}+\pi }{2}\notin \mathrm{结束}（Ë）$ 和 $p>q_{\mathcal{Ĵ}}{\ell }^2$ 要么 $\frac{\mathrm{1个}+\pi }{2}\in \mathrm{结束}（Ë）$ 和 $p>4q_{\mathcal{Ĵ}}{\ell }^2$：有 $\ell -\mathrm{1个}$ 要么 $\ell +\mathrm{1个}$ 的邻居 $[Ë]$，每个都连接到 $[Ë]$ 一个边缘，最多两个边缘定义 ${\mathbb{F}}_p$。我们还举一些例子来说明我们的界限是紧密的。接下来，在GRH下，我们获得显式的上限和下限$\mathrm{中号}（p）$，据我们所知在文献中并未对此进行研究。为了使边界有用，我们估计了以下奇异椭圆曲线的数量：$q_{\mathcal{Ĵ}}<C\sqrt{p}$ 对于 $C=4$ 要么 $\frac{\mathrm{1个}}{2}$。在附录中，我们计算$\mathrm{中号}（p）$ 对全部 $p<2000$数值上。我们的数据表明$\mathrm{中号}（p）>\sqrt{p}$ 除 $p=11$ 或23和 $\mathrm{中号}（p）<p{\mathrm{日志}}^{2}p$对于所有p。