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Injective stabilization of additive functors. II. (Co)torsion and the Auslander-Gruson-Jensen functor
Journal of Algebra ( IF 0.9 ) Pub Date : 2020-04-01 , DOI: 10.1016/j.jalgebra.2019.11.016
Alex Martsinkovsky , Jeremy Russell

Abstract The formalism of injective stabilization of additive functors is used to define a new notion of the torsion submodule of a module. It applies to arbitrary modules over arbitrary rings. For arbitrary modules over commutative domains it coincides with the classical torsion, and for finitely presented modules over arbitrary rings it coincides with the Bass torsion. A formally dual approach – based on projective stabilization – gives rise to a new concept: the cotorsion quotient module of a module. This is done in complete generality – the new concept is defined for any module over any ring. Unlike torsion, cotorsion does not have classical prototypes. General properties of these constructs are established. It is shown that the Auslander-Gruson-Jensen functor applied to the cotorsion functor returns the torsion functor. As a consequence, a ring is one-sided absolutely pure if and only if each pure injective on the other side is cotorsion-free. If the injective envelope of the ring is finitely presented, then the right adjoint of the Auslander-Gruson-Jensen functor applied to the torsion functor returns the cotorsion functor. This correspondence establishes a duality between torsion and cotorsion over such rings. In particular, this duality applies to artin algebras. It is also shown that, over any ring, the character module of the torsion of a module is isomorphic to the cotorsion of the character module of the module. Under various finiteness conditions on the injective envelope of the ring, the derived functors of torsion and cotorsion are computed.

中文翻译:

加性函子的注入稳定。二、(Co)torsion 和 Auslander-Gruson-Jensen 函子

摘要 使用加性函子的注入稳定的形式来定义模块的扭转子模块的新概念。它适用于任意环上的任意模块。对于交换域上的任意模块,它与经典扭转重合,对于任意环上的有限呈现模块,它与 Bass 扭转重合。一种基于投影稳定的形式上的双重方法产生了一个新概念:一个模块的 cotorsion 商模块。这是完全通用的——新概念是为任何环上的任何模块定义的。与torsion不同,cotorsion没有经典原型。建立了这些构建体的一般特性。结果表明,应用到 cotorsion 函子的 Auslander-Gruson-Jensen 函子返回扭转函子。作为结果,当且仅当另一侧的每个纯单射都无扭转时,环是一侧绝对纯的。如果环的单射包络是有限呈现的,那么应用于扭转函子的 Auslander-Gruson-Jensen 函子的右伴随会返回 cotorsion 函子。这种对应关系在这样的环上建立了扭转和扭转之间的二元性。特别是,这种对偶适用于艺术代数。还表明,在任何环上,模块的扭转的特征模块与模块的特征模块的扭转同构。在环的单射包络上的各种有限条件下,计算了扭转和扭转的派生函子。如果环的单射包络是有限呈现的,那么应用于扭转函子的 Auslander-Gruson-Jensen 函子的右伴随会返回 cotorsion 函子。这种对应关系在这样的环上建立了扭转和扭转之间的二元性。特别是,这种对偶适用于艺术代数。还表明,在任何环上,模块的扭转的特征模块与模块的特征模块的扭转同构。在环的单射包络上的各种有限条件下,计算了扭转和扭转的导出函子。如果环的单射包络是有限呈现的,那么应用于扭转函子的 Auslander-Gruson-Jensen 函子的右伴随会返回 cotorsion 函子。这种对应关系在这样的环上建立了扭转和扭转之间的二元性。特别是,这种对偶适用于艺术代数。还表明,在任何环上,模块的扭转的特征模块与模块的特征模块的扭转同构。在环的单射包络上的各种有限条件下,计算了扭转和扭转的导出函子。这种对应关系在这样的环上建立了扭转和扭转之间的二元性。特别是,这种对偶适用于艺术代数。还表明,在任何环上,模块的扭转的特征模块与模块的特征模块的扭转同构。在环的单射包络上的各种有限条件下,计算了扭转和扭转的派生函子。这种对应关系在这样的环上建立了扭转和扭转之间的二元性。特别是,这种对偶适用于艺术代数。还表明,在任何环上,模块的扭转的特征模块与模块的特征模块的扭转同构。在环的单射包络上的各种有限条件下,计算了扭转和扭转的导出函子。
更新日期:2020-04-01
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