Let $E$ be an elliptic curve defined over $\mathbb{Q}$ and let $N$ be a positive integer. Now, $M_E(N)$ counts the number of primes $p$ such that the group $E_p(\mathbb{F}_p)$ is of order $N$. In an earlier joint work with Balasubramanian, we showed that $M_E(N)$ follows Poisson distribution when an average is taken over a family of elliptic curve with parameters $A$ and $B$ where $A,\, B\ge N^{\frac{\ell}{2}}(\log N)^{1+\gamma}$ and $AB>N^{\frac{3\ell}{2}}(\log N)^{2+\gamma}$ for a fixed integer $\ell$ and any $\gamma>0$. In this paper, we show that for sufficiently large $N$, the same result holds even if we take $A$ and $B$ in the range $\exp(N^{\frac{\epsilon^2}{20\ell}})\ge A, B>N^\epsilon$ and $AB>N^{\frac{3\ell}{2}}(\log N)^{6+\gamma}$ for any $\epsilon>0$.

中文翻译：

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椭圆曲线族上素数计数函数的短平均分布

令 $E$ 为定义在 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线，令 $N$ 为正整数。现在，$M_E(N)$ 计算素数 $p$ 的数量，使得群 $E_p(\mathbb{F}_p)$ 的阶数为 $N$。在与 Balasubramanian 的早期联合工作中，我们表明，当对参数为 $A$ 和 $B$ 的椭圆曲线族取平均值时，$M_E(N)$ 遵循泊松分布，其中 $A,\, B\ge N ^{\frac{\ell}{2}}(\log N)^{1+\gamma}$ 和 $AB>N^{\frac{3\ell}{2}}(\log N)^{ 2+\gamma}$ 用于固定整数 $\ell$ 和任何 $\gamma>0$。在本文中，我们证明了对于足够大的 $N$，即使我们在 $\exp(N^{\frac{\epsilon^2}{20\ ell}})\ge A, B>N^\epsilon$ 和 $AB>N^{\frac{3\ell}{2}}(\log N)^{6+\gamma}$ 对于任何 $\ epsilon>0$。