For any two complete discrete valued fields $K_1$ and $K_2$ of mixed characteristic with perfect residue fields, we show that if the $n$-th valued hyperfields of $K_1$ and $K_2$ are isomorphic over $p$ for each $n\ge1$, then $K_1$ and $K_2$ are isomorphic. More generally, for $n_1,n_2\ge 1$, if $n_2$ is large enough, then any homomorphism, which is over $p$, from the $n_1$-th valued hyperfield of $K_1$ to the $n_2$-th valued hyperfield of $K_2$ can be lifted to a homomorphism from $K_1$ to $K_2$. We compute such $n_2$ effectively, which depends only on the ramification indices of $K_1$ and $K_2$. Moreover, if $K_1$ is tamely ramified, then any homomorphism over $p$ between the first valued hyperfields is induced from a unique homomorphism of valued fields. Using this lifting result, we deduce a relative completeness theorem of AKE-style in terms of valued hyperfields. We also study some relationships between valued hyperfields, truncated discrete valuation rings, and complete discrete valued fields of mixed characteristic. For a prime number $p$ and a positive integer $e$ and for large enough $n$, we show that a certain category of valued hyperfields is equivalent to the category of truncated discrete valuation rings of length $n$ and the ramification indices $e$ having perfect residue fields of characteristic $p$. Furthermore, in the tamely ramified case, we show that a subcategory of this category of valued hyperfields is equivalent to the category of complete discrete valued rings of mixed characteristic $(0,p)$ having perfect residue fields.

中文翻译：

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超字段、截断的 DVR 和值字段

对于具有完美残差场的混合特征的任何两个完全离散值场 $K_1$ 和 $K_2$，我们证明如果 $K_1$ 和 $K_2$ 的第 $n$ 个超场在 $p$ 上同构$n\ge1$，那么 $K_1$ 和 $K_2$ 是同构的。更一般地说，对于 $n_1,n_2\ge 1$，如果 $n_2$ 足够大，那么任何超过 $p$ 的同态，从 $K_1$ 的第 $n_1$ 个超场到 $n_2$ $K_2$ 的第 -th 值超场可以提升为从 $K_1$ 到 $K_2$ 的同态。我们有效地计算了这样的 $n_2$，这仅取决于 $K_1$ 和 $K_2$ 的分支指数。此外，如果 $K_1$ 是驯服的分支，那么第一值超场之间 $p$ 上的任何同态都是由值场的唯一同态引起的。使用这个提升结果，我们根据值的超场推导出 AKE 风格的相对完备性定理。我们还研究了值超场、截断的离散估值环和混合特征的完全离散值场之间的一些关系。对于质数 $p$ 和正整数 $e$ 以及足够大的 $n$，我们证明了某个类别的超场等价于长度为 $n$ 的截断离散估值环的类别和分支指数$e$ 具有特征 $p$ 的完美残差域。此外，在驯服的分枝情况下，我们表明，此类有价值的超场的子类别等效于具有完美残差场的混合特征 $(0,p)$ 的完整离散值环的类别。截断的离散估值环，以及混合特征的完整离散值域。对于质数 $p$ 和正整数 $e$ 以及足够大的 $n$，我们证明了某个类别的超场等价于长度为 $n$ 的截断离散估值环的类别和分支指数$e$ 具有特征 $p$ 的完美残差域。此外，在驯服的分枝情况下，我们表明，此类有价值的超场的子类别等效于具有完美残差场的混合特征 $(0,p)$ 的完整离散值环的类别。截断的离散估值环，以及混合特征的完整离散值域。对于质数 $p$ 和正整数 $e$ 以及足够大的 $n$，我们证明了某个类别的超场等价于长度为 $n$ 的截断离散估值环的类别和分支指数$e$ 具有特征 $p$ 的完美残差域。此外，在驯服的分枝情况下，我们表明，此类有价值的超场的子类别等效于具有完美残差场的混合特征 $(0,p)$ 的完整离散值环的类别。我们表明，某类价值超场等价于长度为 n$ 的截断离散估值环的类别，以及具有特征为 $p$ 的完美残差场的分枝指数 $e$。此外，在驯服的分枝情况下，我们表明，此类有价值的超场的子类别等效于具有完美残差场的混合特征 $(0,p)$ 的完整离散值环的类别。我们表明，某类价值超场等价于长度为 n$ 的截断离散估值环的类别，以及具有特征为 $p$ 的完美残差场的分枝指数 $e$。此外，在驯服的分枝情况下，我们表明，此类有价值的超场的子类别等效于具有完美残差场的混合特征 $(0,p)$ 的完整离散值环的类别。