A great deal of work has gone into classifying bursting oscillations, periodic alternations of spiking and quiescence modeled by fast-slow systems. In such systems, one or more slow variables carry the fast variables through a sequence of bifurcations that mediate transitions between oscillations and steady states. A rigorous classification approach is to characterize the bifurcations found in the neighborhood of a singularity; a measure of the complexity of the bursting oscillation is then given by the smallest codimension of the singularities near which it occurs. Fold/homoclinic bursting, along with most other burst types of interest, has been shown to occur near a singularity of codimension three by examining bifurcations of a cubic Liénard system; hence, these types of bursting have at most codimension three. Modeling and biological considerations suggest that fold/homoclinic bursting should be found near fold/subHopf bursting, a more recently identified burst type whose codimension has not been determined yet. One would expect that fold/subHopf bursting has the same codimension as fold/homoclinic bursting, because models of these two burst types have very similar underlying bifurcation diagrams. However, no codimension-three singularity is known that supports fold/subHopf bursting, which indicates that it may have codimension four. We identify a three-dimensional slice in a partial unfolding of a doubly-degenerate Bodganov-Takens point, and show that this codimension-four singularity gives rise to almost all known types of bursting.

中文翻译：

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生物学和数学之间的交叉电流：伪高原爆发的编码。

大量工作已用于对由快-慢系统建模的突发振荡、尖峰和静止的周期性交替进行分类。在这样的系统中，一个或多个慢变量携带快速变量通过一系列分岔，这些分岔介导振荡和稳态之间的转换。一种严格的分类方法是表征在奇点附近发现的分岔；爆发振荡的复杂性的度量然后由它发生附近的奇点的最小余维给出。通过检查三次 Liénard 系统的分岔，折叠/同宿爆发以及大多数其他感兴趣的爆发类型已被证明发生在共维三的奇点附近；因此，这些类型的爆裂至多具有第三维。建模和生物学考虑表明，折叠/同宿爆裂应该在折叠/subHopf 爆裂附近找到，这是一种最近确定的爆发类型，其共维尚未确定。人们会期望折叠/subHopf 爆发与折叠/同宿爆发具有相同的共维，因为这两种爆发类型的模型具有非常相似的潜在分叉图。然而，尚不知道支持折叠/subHopf 爆发的三维奇点，这表明它可能具有四维。我们在双重退化的 Bodganov-Takens 点的部分展开中识别了一个三维切片，并表明这个 codimension-4 奇点引起了几乎所有已知类型的爆发。一种最近确定的爆发类型，其码元尚未确定。人们会期望折叠/subHopf 爆发与折叠/同宿爆发具有相同的共维，因为这两种爆发类型的模型具有非常相似的潜在分叉图。然而，尚不知道支持折叠/subHopf 爆发的三维奇点，这表明它可能具有四维。我们在双重退化的 Bodganov-Takens 点的部分展开中识别了一个三维切片，并表明这个 codimension-4 奇点引起了几乎所有已知类型的爆发。一种最近确定的爆发类型，其码元尚未确定。人们会期望折叠/subHopf 爆发与折叠/同宿爆发具有相同的共维，因为这两种爆发类型的模型具有非常相似的潜在分叉图。然而，尚不知道支持折叠/subHopf 爆发的三维奇点，这表明它可能具有四维。我们在双重退化的 Bodganov-Takens 点的部分展开中识别了一个三维切片，并表明这个 codimension-4 奇点引起了几乎所有已知类型的爆发。然而，尚不知道支持折叠/subHopf 爆发的三维奇点，这表明它可能具有四维。我们在双重退化的 Bodganov-Takens 点的部分展开中识别了一个三维切片，并表明这个 codimension-4 奇点引起了几乎所有已知类型的爆发。然而，尚不知道支持折叠/subHopf 爆发的三维奇点，这表明它可能具有四维。我们在双重退化的 Bodganov-Takens 点的部分展开中识别了一个三维切片，并表明这个 codimension-4 奇点引起了几乎所有已知类型的爆发。