For $$n,d,w \in \mathbb {N}$$n,d,w∈N, let A(n, d, w) denote the maximum size of a binary code of word length n, minimum distance d and constant weight w. Schrijver recently showed using semidefinite programming that $$A(23,8,11)=1288$$A(23,8,11)=1288, and the second author that $$A(22,8,11)=672$$A(22,8,11)=672 and $$A(22,8,10)=616$$A(22,8,10)=616. Here we show uniqueness of the codes achieving these bounds. Let A(n, d) denote the maximum size of a binary code of word length n and minimum distance d. Gijswijt et al. showed that $$A(20,8)=256$$A(20,8)=256. We show that there are several nonisomorphic codes achieving this bound, and classify all such codes with all distances divisible by 4.

中文翻译：

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使用半定规划的代码唯一性

对于$$n,d,w \in \mathbb {N}$$n,d,w∈N，令A(n, d, w)表示一个字长为n的二进制码的最大尺寸，最小距离为d和恒重 w。Schrijver 最近使用半定规划证明 $$A(23,8,11)=1288$$A(23,8,11)=1288，第二作者证明 $$A(22,8,11)=672$ $A(22,8,11)=672 和 $$A(22,8,10)=616$$A(22,8,10)=616。在这里，我们展示了实现这些界限的代码的唯一性。令 A(n, d) 表示字长为 n 且最小距离为 d 的二进制代码的最大大小。Gijswijt 等人。表明 $$A(20,8)=256$$A(20,8)=256。我们证明有几个非同构代码实现了这个界限，并将所有此类代码分类为所有距离可被 4 整除。