This paper proposes a method for deblurring of class-averaged images in single-particle electron microscopy (EM). Since EM images of biological samples are very noisy, the images which are nominally identical projection images are often grouped, aligned and averaged in order to cancel or reduce the background noise. However, the noise in the individual EM images generates errors in the alignment process, which creates an inherent limit on the accuracy of the resulting class averages. This inaccurate class average due to the alignment errors can be viewed as the result of a convolution of an underlying clear image with a blurring function. In this work, we develop a deconvolution method that gives an estimate for the underlying clear image from a blurred class-averaged image using precomputed statistics of misalignment. Since this convolution is over the group of rigid body motions of the plane, SE(2), we use the Fourier transform for SE(2) in order to convert the convolution into a matrix multiplication in the corresponding Fourier space. For practical implementation we use a Hermite-function-based image modeling technique, because Hermite expansions enable lossless Cartesian-polar coordinate conversion using the Laguerre-Fourier expansions, and Hermite expansion and Laguerre-Fourier expansion retain their structures under the Fourier transform. Based on these mathematical properties, we can obtain the deconvolution of the blurred class average using simple matrix multiplication. Tests of the proposed deconvolution method using synthetic and experimental EM images confirm the performance of our method.

中文翻译：

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单粒子电子显微镜中类平均图像的去模糊

本文提出了一种在单粒子电子显微镜 (EM) 中对类平均图像进行去模糊的方法。由于生物样本的 EM 图像非常嘈杂，因此通常将名义上相同的投影图像的图像分组、对齐和平均，以消除或减少背景噪声。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 然而，单个 EM 图像中的噪声会在对齐过程中产生错误，这对生成的类平均值的准确性产生了固有的限制。这种由于对齐错误而导致的不准确的类平均值可以看作是底层清晰图像与模糊函数卷积的结果。在这项工作中，我们开发了一种反卷积方法，该方法使用预先计算的未对准统计数据从模糊的类平均图像中估计潜在的清晰图像。由于此卷积是在平面的一组刚体运动 SE(2) 上进行的，因此我们对 SE(2) 使用傅立叶变换，以便将卷积转换为相应傅立叶空间中的矩阵乘法。对于实际实现，我们使用基于 Hermite 函数的图像建模技术，因为 Hermite 扩展使用 Laguerre-Fourier 扩展实现无损笛卡尔极坐标转换，并且 Hermite 扩展和 Laguerre-Fourier 扩展在傅立叶变换下保留它们的结构。基于这些数学特性，我们可以使用简单的矩阵乘法获得模糊类平均值的反卷积。使用合成和实验 EM 图像对所提出的反卷积方法进行的测试证实了我们方法的性能。我们对 SE(2) 使用傅立叶变换，以便将卷积转换为相应傅立叶空间中的矩阵乘法。对于实际实现，我们使用基于 Hermite 函数的图像建模技术，因为 Hermite 扩展使用 Laguerre-Fourier 扩展实现无损笛卡尔极坐标转换，并且 Hermite 扩展和 Laguerre-Fourier 扩展在傅立叶变换下保留它们的结构。基于这些数学特性，我们可以使用简单的矩阵乘法获得模糊类平均值的反卷积。使用合成和实验 EM 图像对所提出的反卷积方法进行的测试证实了我们方法的性能。我们对 SE(2) 使用傅立叶变换，以便将卷积转换为相应傅立叶空间中的矩阵乘法。对于实际实现，我们使用基于 Hermite 函数的图像建模技术，因为 Hermite 扩展使用 Laguerre-Fourier 扩展实现无损笛卡尔极坐标转换，并且 Hermite 扩展和 Laguerre-Fourier 扩展在傅立叶变换下保留它们的结构。基于这些数学特性，我们可以使用简单的矩阵乘法获得模糊类平均值的反卷积。使用合成和实验 EM 图像对所提出的反卷积方法进行的测试证实了我们方法的性能。对于实际实现，我们使用基于 Hermite 函数的图像建模技术，因为 Hermite 扩展使用 Laguerre-Fourier 扩展实现无损笛卡尔极坐标转换，并且 Hermite 扩展和 Laguerre-Fourier 扩展在傅立叶变换下保留它们的结构。基于这些数学特性，我们可以使用简单的矩阵乘法获得模糊类平均值的反卷积。使用合成和实验 EM 图像对所提出的反卷积方法进行的测试证实了我们方法的性能。对于实际实现，我们使用基于 Hermite 函数的图像建模技术，因为 Hermite 扩展使用 Laguerre-Fourier 扩展实现无损笛卡尔极坐标转换，并且 Hermite 扩展和 Laguerre-Fourier 扩展在傅立叶变换下保留它们的结构。基于这些数学特性，我们可以使用简单的矩阵乘法获得模糊类平均值的反卷积。使用合成和实验 EM 图像对所提出的反卷积方法进行的测试证实了我们方法的性能。Hermite 展开和 Laguerre-Fourier 展开在傅里叶变换下保留了它们的结构。基于这些数学特性，我们可以使用简单的矩阵乘法获得模糊类平均值的反卷积。使用合成和实验 EM 图像对所提出的反卷积方法进行的测试证实了我们方法的性能。Hermite 展开和 Laguerre-Fourier 展开在傅里叶变换下保持它们的结构。基于这些数学特性，我们可以使用简单的矩阵乘法获得模糊类平均值的反卷积。使用合成和实验 EM 图像对所提出的反卷积方法进行的测试证实了我们方法的性能。