x²-dy²=-1有多少整数解？近30年无人解开的数学难题有答案了

Alex 羿阁 发自 凹非寺
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数学界几十年来的一个谜题，终于被解开了。

这个猜想和初等数论中经典的佩尔（Pell）方程：x²-d*y²=1有关。

（这里d是整数，求x、y也都是整数的解。）

在此之前，经典佩尔方程的整数解情况已得到证明：

当d≤0或d为某大于0的完全平方数时，该方程有唯一解：x=±1，y=0；当d>0且不是完全平方数时，该方程有无数组正整数解。

不过数学家们的探究精神一般不会止步于此。

有人提出将等号右边的1变成-1，并将这个新的方程称为负佩尔方程 （ II型佩尔方程），结果整数解的情况立刻变得复杂了许多。

时间拨到1993年，当时数学家彼得·史蒂文哈根（Peter Stevenhargen）提出了一个公式，对负佩尔方程的整数解情况给出一个精确的答案。

而这个猜想提出后的30年，数学界一直无法证明它的正确性。

但现如今，来自康考迪亚大学的卡罗·帕加诺（Carlo Pagano）和密歇根大学的皮特·科伊曼斯（Peter Koymans），终于给出了猜想的“正解”。

帕加诺的导师Hendrik Lenstra教授甚至对此评价说：

这个成果为数论的一个分支开辟了新篇章。

数论中的经典：佩尔方程

在介绍负佩尔方程之前，让我们先来了解一下经典的佩尔方程从何而来。

佩尔方程，其实与佩尔完全无关。

这一理论最早由费马（Pierre de Fermat）进行深入研究，由拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）给出解决方案，但后来因为被欧拉（Leonhard Euler）误记为佩尔提出，就阴差阳错的流传下来。

它的具体形式为：x²-d*y²=1

当d是正整数且不是完全平方数，则存在无穷多个解。

举个例子，数学史上有个经典的“阿基米德群牛问题”：

太阳神养了一群牛，这些牛有公有母，分白色、黑色、黄色和花色四种颜色，给定一系列条件，求解牛的总数有多少？各种颜色的牛分别是多少?

这个问题起一直以来吸引了很多数学家的兴趣，最后经过一系列计算，被演化为求解一个佩尔方程：

x²-4729494*y²=1

2000年，伦斯查（Lenstra）完全解决了这个问题，他得出了阿基米德群牛问题的所有解：

不仅解的数量多，牛的最小数量也让人惊呼：或许只有真·太阳神才能管理了。

不同于佩尔方程，负佩尔方程的整数解情况要复杂得多。

负佩尔方程

前文提到，负佩尔方程可表示为：x²-d*y²=-1；d为整数。

显然，当d≤0，以及d为大于1的完全平方数时，方程无整数解。

此外，负佩尔方程的整数解复杂性还体现在：

负佩尔方程中的很多d值都无整数解。据已知规则得出，d不能是3、7、11、15的倍数等。

但除了这些值外，并不是其他的d值就一定有整数解。
例如当d=3时，x²–3*y²=-1，无论沿着数轴看多远，都永远找不到解。

但事实上，排除3、7、11、15的倍数后，并不是取其他的d值，负佩尔方程就一定有整数解。

给定d值后，首先需要求出负佩尔方程的基本解。

对负佩尔方程的求通解可使用这个公式：

其中，这里的n为任意正整数；a和b则是负佩尔方程的基本解，并有如下等式：

x₀和y₀就是经典佩尔方程的基本解。

更多与之相关的细节研究可参考论文：

研究者简介

最后，来看看这两位证明这个30年前猜想的数学家们吧——

卡罗·帕加诺（Carlo Pagano），是加拿大康考迪亚大学的助理教授，主要研究方向是数论。

此前分别获得了格拉斯哥大学和马克斯·普朗克研究所的数学博士后学位，博士毕业于莱顿大学数学专业，导师是Hendrik Lenstra。

皮特·科伊曼斯（Peter Koymans），目前正在密歇根大学攻读博士后，主要研究方向是数论及其周边领域。

此前在马克斯·普朗克数学研究所从事博士后研究，博士毕业于莱顿大学数学专业，导师是Jan-Hendrik Evertse和Peter Stevenhagen。

可以看出，两人的学习轨迹有很多重合的部分，不仅如此，他们在研究生时期也是同学。

为了这项研究，两人整整一年天天见面，每天在黑板上进行各种演算，互相完善对方提出来的想法，就连午餐时间都不放过，如果有人在独处时有了新想法，就会随时发短信通知另一个人。

尽管非常有挑战性，科伊曼斯却在回忆起这段时间时说：“我们一起做这件事很有趣。”

参考链接：
[1]https://www.quantamagazine.org/ancient-equations-offer-new-look-at-number-groups-20220810/
[2]http://www.math.toronto.edu/~eknight/Pell.pdf
[3]https://zhuanlan.zhihu.com/p/365860557
[4]https://www.sites.google.com/view/carlopagano
[5]http://www-personal.umich.edu/~koymans/
[6]https://arxiv.org/abs/2201.13424