最难的方程和最大的谜团

物理学中充满了方程，这些方程支配着万事万物的运行规律。在所有的方程中，有一组方程自200年前（1822年）首次被提出起，就成了一座无法逾越的大山，那就是纳维-斯托克斯方程（NS方程）。

纳维-斯托克斯方程。（图／原理）

NS方程在数学上的理解难度甚至超越了爱因斯坦场方程，这是因为它的背后还隐藏着物理世界中最难理解的一个部分，却也是我们日常生活中随处可见的一种现象，湍流。

  湍流是什么？ 

湍流究竟是什么？这个问题的答案可能出乎你的意料。事实上，在科学界，还没有形成一种普遍认同的湍流的定义，但这又是一种“当你看到它就会知道”的东西。

比如，你向一杯黑咖啡中倒进了一点儿牛奶，就能看到白色的液体向云朵一样绽放开来，在液体中扩散，出现复杂的漩涡，并最终融合成一杯完美的咖啡。又或者，原本一条平缓的河流缓慢流动着，但当河水遇到桥墩时，一个大范围的湍流事件就可能出现。

茶杯中的湍流模拟。（图／sunysb.edu）

事实上，哪怕是你随便在空气中挥挥手，也会产生无法看见的湍流，而它们的复杂程度超乎想象。在湍流中，流体中会出现大量涡流，也就是许许多多微小的旋涡以及它们产生的逆流，这些涡流不断改变着大小、速度和方向，彼此相互作用着、影响着，在计算和模拟上都会带来巨大的挑战。

一个非湍流的例子是一条平稳的河流，这条河流的每一部分都以相同的速率朝相同的方向运动。湍流就是这条河流的断裂，它让不同部分的河流以不同的速度朝不同的方向运动。（图／Joseasorrentino, Wiki）

然而，尽管湍流无处不在，但在数学上却让人头疼不已，即使是科学巨匠维尔纳·海森堡（Werner Heisenberg）也为之所困。据传言，海森堡晚年时曾说，如果他能向上帝提问，他会问两个问题，“为什么有相对论？为什么有湍流？”然后他接着说，“我相信上帝会有第一个问题的答案”。

这个故事的可信度也许没那么高，但足以见得湍流给科学家留下的“心理阴影”。

  NS方程和千禧年大奖难题  

19世纪上半叶，法国工程师兼物理学家克劳德-路易·纳维（Claude-Louis Navier）和爱尔兰数学家兼物理学家乔治·斯托克斯（George Gabriel Stokes）逐步发展出了描述流体运动的NS方程。

纳维-斯托克斯方程及各项含义。（图／原理）

这是一组非线性偏微分方程，描述了黏性、不可压缩的流体，在给定的黏度、集体速度和外部压强下如何运动。可以这么简单理解，它就好像牛顿第二定律的流体版本。牛顿第二定律连接了加速度与作用力，而NS方程则将流体速度的变化率与作用于流体上的力联系了起来。

200年来，NS方程帮助无数物理学家和工程师解决了大量流体问题，这个方程几乎总是能足够好地预测流体的运动，这种预测和实验的一致性对实验物理学和工程学来说或许已经足够了。

然而，数学家还要解决更基础的问题，也就是所谓的NS方程存在性和光滑性问题。这个问题极其困难，以至于被克雷数学研究所列为七个“千禧年大奖难题”之一。

这个难题可以被分为两个部分：第一个是关于方程解的存在性；第二个是关于这些解是否有边界（是有限的值）。

第一个部分说的是，对于一个数学模型来说，无论它多么复杂，若要想代表这个物理世界，那么它首先必须有解。乍一看，你可能会想，如果我们都不能确定这些方程是否有解，为什么还在用它们呢？其实在实践中，这些方程为流体的运动提供了许多很好的预测，但是这些解是NS方程的完整解的近似值。虽然我们非常自信这些近似解是正确的，却缺乏一个能正式地表明这些方程解确实存在的数学证明。

第二部分则需要探讨这些方程的解是否会出现奇点（或者说无穷大）。流体力学的历史充满了简化版的NS方程的解，这些方程产生奇异解。在这种情况下，奇异的解往往暗示着一些以前在简化模型中没有考虑过的物理现象。识别出这种新的物理现象促使着研究人员进一步地完善他们的数学模型，从而提高模型与现实之间的一致性。如果NS确实有奇异解，那么也许下个千禧年大奖就会颁发给发现需要什么样的新物理来消除奇点的人。

  湍流谜团  

当你看着一条缓缓流淌的河流，开始分析其中的湍流，可能会破坏那一刻的诗意。但是，如果这条平缓流淌的河流变成了破坏性的洪流，理解复杂湍流的行为就变得至关重要。

但由于湍流的复杂性，对研究湍流的学者来说，即使用目前最快的超级计算机，可能也只能模拟出民用飞机机翼周围几厘米的湍流。因此许多科学家都在努力尝试开发各种算法和模型，用现有的技术“挤”出尽量多的信息。

湍流还影响着能源消耗等各个方面，对湍流更全面的了解能带来深远的经济效益。它还可能引领工程、医疗设备设计、车辆、天气预报和气候变化研究等方面的巨大进步。