1+1=1…吧？

原创 Xavier Lien 中科院物理所

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你凭什么认为 1+1=2 ？

如果我说 1+1=1 ，我们可以构造出怎样的数学？

让我们首先考虑一个可以说是最基本的数学公式：

这可能是我们小时候学到的第一个等式。我们中有些人可能对此还有模糊的记忆：我们的父母把它重复了一遍又一遍，直到我们设法掰着手指去理解它。

等等，你可能会提出反对意见。这个等式有点小问题啊！不应该是：

那么我要问你，你怎么知道“应该是这样的”？

你可能会说，这不是很明显吗？当你把一个弹珠和另一个弹珠放在一起，你会得到两个弹珠！你小时候你父母没给你演示过吗？

1 + 1 = 1?

根据经验主义者的观点，我们通过经验获得数学知识。这可以从我们如何通过与周围世界的互动来学习数学中看出。例如，我们的父母可能教我们用周围的各种物体数数或做一些简单的算术。

但正如开头的的这个思想实验所表明的那样，这种数学观似乎存在一个问题——我们从世界上获得的知识是不确定的。为了理解为什么会这样，我们必须更仔细地研究我们是如何学习 1+1=2 的。

假设一个孩子要开始学习 1+1=2 。首先，父母可能每只手拿一个弹珠，然后再把它们放在一起，让孩子看到现在有两个弹珠。他们也可能用饼干、铅笔、数学课本之类的来重复这些演示。

一段时间后，孩子将开始意识到这个模式，并得出 1+1=2 的（正确的？）结论。通过这种方式我们看到，孩子从一个有限数量的样本开始，将一个对象和另一个对象相加，然后再总结他的经验来得出等式。

问题是，这种总结方法——也被称为归纳法，它也有可能会带来一些错误。如果我们遵循这样的逻辑，有时会遇到例外情况，比如说我们将一杯水和另一杯水相加将导致我们得出一个非常不同的结论。

因此，虽然我们可以通过经验来学习数学，但经验并不能作为数学的全部依据。换句话说，虽然我们可以通过操控各种对象来了解 “1+1=2” 的含义，但这并不是该命题为真的原因。这一点至关重要，特别是当我们想确认数学知识的正确性的时候。

经验主义不是数学知识的最佳来源的另一个原因是，它无法解释我们如何获得关于理想和抽象实体的知识，而这些实体在现实世界中并不存在。例如，一条线被定义为有长度但没有宽度的对象，但是现实世界中我们不可能绘制出或感知到一条线。无论你画的多好，即使它是由计算机绘制的，它在数学上也不是完美的线，因为在放大后，“线”只是一系列相邻的像素，它们具有宽度。如果这些数学对象在现实世界中不存在，我们怎么能仅仅通过我们的经验来想象它们呢？

出于上述原因，数学通常被视为一门先验学科，这意味着我们需要通过理性而不只是经验来认识它。这是因为像 1+1=2 这样的命题被视为是分析性的，也就是说，根据定义是真的。这意味着否命题 “1+1≠ 2” 是假的，这一点仅仅通过思考（也就是说仅使用理性）就可以明显看出。其他例子包括 “三角形有三条边” 或 “平行线永不相交” 。这样一来我们现有的数学知识就是确定的了，因为如果你说 “1+1=1” 或 “三角形有四条边” ，这些命题首先在逻辑上就是不正确的。

Not a triangle.

非三角形

但这仍然不能解释我们是如何得出这样的结论的。要回答这个问题，我们必须转向最一般的数学观点：柏拉图主义。

在柏拉图主义中，数学实体是抽象的、永恒的、永不改变的。它们存在于形式世界中，独立于物理世界。当我们做数学的时候，我们用我们的头脑进入这个形式的世界，发现其中的真理。例如，我们知道三角形有三条边，因为这就是完美三角形在这个“形式世界”中的存在方式，我们可以通过使用我们的理性来了解它。

你可能认为形式世界的概念有点奇怪，但请允许我换个说法。因为像完美的圆和线这样的数学实体在现实世界中并不存在，它们必须存在于某个地方。否则我们怎么知道他们？它们存在的地方正是柏拉图主义者所说的形式世界！

Perfect shapes enjoying life in the World of Forms

形式世界的完美图形

这也符合数学的先验性质，因为数学的正确性不在于实体或定理能否在物理世界中找到，而在于我们能否在形式世界中找到它。例如，我们没有通过测量多个物理三角形来证明三角形中内角之和为 180° 。取而代之的是，我们使用了一个我们可以在精神上发现的证据，让我们能够接近这样一个真理：三角形的内角之和等于 180° 。

此外，它还解释了为什么数学是普遍正确的。当我们聚在一起时，我们都会同意 1+1=2 或者毕达哥拉斯定理是正确的，因为数学是独立于我们的思想而存在的。这意味着我们都可以访问存在于形式世界中的同一套通用数学规则和实体。事实上，像莱布尼茨和牛顿这样的人独立于他人发明微积分，这也证明了这一点。

然而，正如许多人会指出的那样，“形式世界”的模糊概念并不能真正准确地解释数学实体存在的位置和方式，以及我们是如何了解它们的。这似乎有点奇怪，好像有一个神秘的领域，像完美的线条和圆圈这样的物体只是在那里存在，等待着我们以某种方式偶然发现它们。这就是为什么有些人可能更喜欢以下观点：直觉主义。

根据直觉主义者的说法，我们在一些抽象的领域中并没有发现数学实体。更确切地说，数学是由人类的思维构建的。

所有人对数学都有一种原始的直觉，从自然数 1、2、3 开始……这意味着我们对数字1的含义有一个直接理解，并且形成数字 1 的心理过程可以重复得到 2，然后是3，依此类推。接下来，我们可以构建数学的其他领域，如算术、代数和集合论。

这种观点很有吸引力，因为它仍然坚持数学是先验的和普遍的。由于数学命题的构造是一种心理活动，它是一种先验行为，这使我们能够确定像 1+1=2 这样的命题是正确的。此外，所有人对数学都有相同的直觉，这一事实允许我们提出相同的数学并达成一致。

此外，根据德哈恩(Dehaene）的说法，数学是被构造出来的的这一论点似乎提供了“数学与人脑之间关系的最佳解释”。现代心理学似乎支持原始数学直觉的观点，它认为我们有某些固有范畴，而我们根据这些固有范畴来理解世界。例如研究发现，婴儿天生就具有区分对象和提取小集合数量的先天能力，而在幼儿中，简单的算术似乎在没有太多明确指示的情况下自发出现。因此，直觉主义似乎是我们如何做数学的最好解释。

然而，直觉主义也有一些缺点。它的主要问题是，虽然许多定理可以用古典和直觉两种方法来证明，但直觉性定理通常要长得多，因而看起来不那么优雅，这导致许多数学家不愿接受它们。

尽管如此，我们知道优雅与否并不是检验真理的标准，因此仅仅因为直觉主义不如柏拉图主义优雅而拒绝直觉主义并不是最合理的做法。

总而言之，一个简单的思维实验说明了为什么看似直观的数学观经验主义是站不住脚的，然后我们比较了两种关于我们如何获得数学知识的观点：柏拉图主义和直觉主义。由于数学家和哲学家在这个问题上仍然存在分歧，我选择让读者来决定你们更喜欢哪一个。但同时，我希望这篇文章能让你更深入地理解我们所说的 1+1=2 的真正含义。

作者：Xavier Lien

翻译：Nothing

审校：Dannis

原文链接：

https://www.cantorsparadise.com/what-makes-you-so-sure-that-1-1-2-659001f741ba