用数学方法解决非平衡系统的相变问题

原文作者：Cynthia J. O. Reichhardt & Charles Reichhardt

根据牛顿第三定律，所有的相互作用力都有其反作用力，这个经典力学基石经常被视为是理所当然的。但是，越来越多的研究涉及到了作用力和反作用力等价性破缺的非平衡系统，导致了该系统组成元素之间的非互易相互作用（non-reciprocal interaction）[1]。标准的经典统计力学框架无法描述发生在这种系统中的相变过程。Fruchart等人[2]在《自然》发文称，一个涉及奇异点（exceptional point）的数学模型准确描述了非互易相变的行为。奇异点是指系统的参数空间中，两个或多个模式简并成一个模式的位。研究结果为进一步分析以及在各种应用中利用这些相变铺平了道路。

什么是非互易相互作用？它又是如何产生的？在其最简单的形式中，元素A和B之间的非互易相互作用就是A对B不能产生B对A产生的相同的作用。这种相互作用在所有作用力都是保守力的系统中是不可能的——也就是说，这种系统中作用力的总功与路径无关，即一个保证了总能量守恒的情况。所以非互易相互作用与能量的获得或损失有关。

社交互动中会产生强非互易相互作用和非保守力，例如行人之间相互让路或是鸟成群而飞时[3]。这些系统是“活性物质”的典型例子，其中，组成元素（这里可以是一个人或一只鸟）包含了一个内部能量来源，这个来源能让组成元素靠自己的推力运动，从而向系统输入能量[4]。相比之下，一般的非活性物质是纯惰性的，例如水面上随水下暗流飘动的叶子。

我们来考虑鸟群中非互易相互作用的例子（图1）。为了保持鸟群队列，每只鸟都根据与其最近邻的其他鸟的活动来调整飞行。然而鸟的眼睛并没有演化出同时提供所有方向视野的能力。所以，每只鸟只对其视锥内的鸟作出反应[5]。如果鸟A在鸟B的视锥内，那么鸟B就会对A的运动作出反应；但是如果B在A的视锥外，A就不会对B的运动作出反应。换句话说，作用和反作用的等价性就不存在了。

图1 | 鸟群中的非互易相互作用. a, 鸟会根据其他鸟的运动来调整其飞行，以保持鸟群队列，但每只鸟只会对其视锥（粉红色）内的其他鸟做出反应。上图中，下方的鸟会对上方的鸟作出反应，反之则不然。这种相互作用就是非互易相互作用。b,c, 非互易系统会经历自发破缺的对称性被重新获得的相变。例如，如果所有鸟都朝着一个方向飞行（b），那么鸟群的连续空间对称性就自发破缺了；但是如果所有鸟都进入一个全部顺时针或逆时针飞行的手性态（c），这种对称性又会重新被获得。Fruchart等人[2]报道了一个能描述手性态如何通过系统相变而产生的数学方法，这种相变会经过奇异点——奇异点是系统的参数空间中几个模式简并成一个模式的位置。

在材料中，非互易相互作用通常与失去细致平衡（detailed balance）这种性质有关。当一个过程的逆过程按照与这个过程本身相同的速率发生时，就会产生细致平衡。细致平衡被打破时，无论是由于能量损失还是由于能量被某种装置注入，信号在一个方向上的传播就会与相反方向上的传播有所不同。想象一下，有一个系统，其中一根弹性梁连接了两个对梁的伸缩很敏感的装置[6]。当梁的长度发生变化时，这些装置会消耗能量，并在横梁上施加扭矩力。相比之下，外力施加在梁上导致的转矩不会让装置作出响应。因此，是转矩和梁被压缩之间的非对称性产生了非互易相互作用。

非互易相互作用可以经历让自发破缺的对称性被重新获得的相变。例如，在Vicsek鸟群模型中[3]，一个处于稳定状态的鸟群朝着特定的方向飞行，因此破坏了空间对称性（图1b）。当鸟之间的相互作用是非互易相互作用时，就会产生所有鸟都绕圈飞行的状态（图1c）。因为鸟朝着各个方向飞行，空间对称性就能被重新获得。重要的是，这个态存在手性——所有鸟要么顺时针飞行，要么逆时针飞行——这种手性在鸟与鸟之间的各种相互作用下得以稳定。这种稳定性能防止系统在两个手性之间来回翻转，来回翻转将使平均手性为零。

现在，Fruchart等人证明了手征态的出现发生在由奇异点控制的对称性和破缺对称性之间的转换。相比之下，平衡态系统中的转换发生在数学上不同的“临界点”，这些临界点与能隙的闭合有关，能隙的闭合导致系统的两个不同状态具有相同的能量。一个动态系统的能量可以通过一个叫做哈密顿量的数学函数定量描述，并且该系统的基本模式可以通过本征矢量（eigenvector）表征。拥有非互易相互作用的系统的哈密顿量是非厄米的[1]，这说明系统的本征矢量不是完全独立的。当通过改变系统的控制参数来改变这些本征矢量的方向时，两个本征矢量可以在奇异点处合并。

作者的研究表明，在多体系统中，两个重叠模式之一被称为长波Goldstone模式，并与旋转不变性的破缺有关。在鸟群的例子中，这种Goldstone模式对应于所有鸟沿着鸟群方向的均匀运动，而其他模式控制鸟群内的鸟相对于彼此之间的相对运动。

在奇异点处，Goldstone模式与一种其他模式的完全重叠，使得系统可以在所有可能的基态之间自由切换，而不是限制在一个状态。对于鸟群来说，这对应于手性旋转在整个系统出现。换言之，Fruchart等人报道了在奇异点一侧自发破缺的对称性如何能动力学恢复。

即使奇异点在光子学中受到了相当大的关注[7]，比如它们被证明能被用来描述光通过材料的单向传输等特性，但Fruchart和同事仍将它们的应用扩展到了非平衡态的多体系统中。事实上，作者的研究结果适用于任何包含两个关键成分的系统：非互易相互作用和自发破缺的连续对称性。这带来了新的可能性，比如通过类比利用接近普通相变行为的现有装置（例如需要反复蒸发和冷凝冷却剂的冰箱），调控改造一系列其他装置，这些装置的功能依赖于接近奇异点相变的非互易系统的行为。

例如，未来可以开发出具有单向弹性的材料——即其中的机械波能够在一个方向上无扰传播，但在反方向上被完全反射。调控后的装置还能产生相干声子，即激光束的力学等价物。未来还有可能开发出机械应变隐形技术，即材料的一部分完全与振动或冲击隔离开来。