2017 年, Diniz与Veloso两位学者定义了次黎曼Heisenberg空间中非水平曲面的高斯曲率且证明了Gauss-Bonnet定理[2]. 该定义类似于中具有特定法曲面和Hausdorff面积测度的曲面的高斯曲率. 在中, 考虑由向量场,生成的分布以及D上的数量积使得是正交的. 设S是上的曲面.现假定交集的维数为1, 得到了在S处的特征方向. 那么在D中存在一个与中的特征方向正交的全局酉向量场,其中向量场是S的法水平线. 此外, Balogh-Tyson-Vecchi利用黎曼逼近理论在Heisenberg群的远离示性点处定义了欧氏C^2-光滑曲面的内蕴高斯曲率[1]以及曲面上的欧氏C^2-光滑曲线中的内蕴符号测地曲率. 这些结果随后被用来证明Heisenberg版本的Gauss-Bonnet定理. 在文献[3]中, Veloso证实了分别利用文献[2]和文献[1]中介绍的曲面的高斯曲率以及曲面上的曲线的法曲率去证明的Heisenberg 空间中的Gauss-Bonnet定理是不相等的, Veloso利用文献[2]中的相同形式得到了文献[1]中的曲率.
在文献[1]中, 黎曼逼近理论一般依赖于水平分布的补集的选取. 定义曲面内在曲率的极限的存在, 关键取决于极限中某些发散量的相消. 这种相消源于曲面上的标架的选取, 以及Heisenberg群上的基本的左不变群结构的对称性. 在文献[1]中, 他们提出了一个有趣的问题, 想了解在其他带有次黎曼结构空间或者流形上曲线和曲面的曲率, 而本文正是解决了这个问题. 本文主要研究了带有次黎曼结构的仿射群与Minkowski平面的刚体运动群上曲线和曲面的曲率的次黎曼极限, 并且证明了相应群以及空间上的Gauss-Bonnet定理.
【论文信息】[点击下方链接或“阅读原文”可获取全文]
【参考文献】
[1] Balogh Z, Tyson J, Vecchi E. Intrinsic curvature of curves and surfaces and a Gauss-Bonnet theorem in the Heisenberg group. Math Z, 2017, 287: 1–38
[2] Diniz M, Veloso M. Gauss-Bonnet theorem in sub-Riemannian Heisenberg space. J Dyn Control Syst, 2016, 22: 807–820
[3] Veloso M. Rotation surfaces of constant Gaussian curvature as Riemannian approximation scheme in sub-Riemannian Heisenberg space H^1. arXiv: 1909.13341
作者简介
王勇
东北师范大学数学与统计学院基础数学专业博士生导师
魏斯宁
东北财经大学数据科学与人工智能学院讲师