拉马努金机：会给人类出数学难题的AI来啦

以数学家拉马努金名字命名的算法能给出很有意思的公式，一些公式证明起来还很难。

这个AI会先从众所周知的公式开始计算，例如π的前几千位。之后，算法会预测出一个很合理的新公式来计算同样的值。这个过程得到的合理猜测被称为“猜想”，然后再由人类数学家证明该公式可以正确计算出这个整数。

团队从2019年起就在项目官网上公开了这些猜想。迄今为止，研究人员已经证明了其中一些猜想的正确性，但有些问题还没有答案，包括在物理学中有重要应用的Apery常数的计算。“最后的结论，也是最激动人心的结论，没有人知道要怎么证明。”领导该项目的以色列理工学院（Technion）海法校区物理学家Ido Kaminer说。自动生成的猜想可以提示数学家不同数学分支之间的联系——这些联系之前从没人想到过，他补充说。

该项目2月3日发表于《自然》[1]，以20世纪初的印度数学家拉马努金的名字命名。拉马努金没怎么写过发表在正规数学论文里的那种证明，他的笔记本里反倒全是数学公式，他坚信这些公式是他的女神在梦里告诉他的。1920年，32岁的拉马努金不幸逝世，但他的工作一直在启发新的研究方向。

拉马努金机的算法技术并不稀奇，新泽西州立罗格斯大学的数学家Doron Zeilberger说：“这次的创新之处在于它把这些技术融入了一个统一的框架中。”

拉马努金机目前的应用十分有限。眼下，该算法只能生成一种特定形式的公式——连分数。连分数是指分母中嵌套了连分数的无穷递归形式，即：

Kaminer的团队实验了许多寻找连分数的算法，并应用到了许多概念上很重要的常数上。其中之一是卡塔兰常数（Catalan’s constant），该常数来源于19世纪比利时数学家欧仁·卡特兰的研究。

卡塔兰常数约等于0.916，它十分神秘，至今没人知道它是不是有理数——也就是说，它是否能表示成两个整数的商。数学家得到的最好结论是证明出它的“无理性指数”（irrationality exponent）不小于0.554，该指数代表了用有理数近似该常数的难度有多大。证明卡塔兰常数是无理数等价于证明它的无理性指数大于1。拉马努金机生成的公式让Kaminer团队在人类获得的最好结果上又进步了一点，将卡塔兰常数的无理性指数提高到了0.567。

“能把卡塔兰常数的无理性指数从0.554提高到0.567，说明它能帮助解决真正的难题。”宾夕法尼亚州立大学的数学家George Andrews说。Andrews帮助整理了拉马努金身后留下的一些笔记本。但就目前而言，拉马努金机的贡献还无法与拉马努金本人相提并论，Andrews说，“叫拉马努金机有点夸张了。”

Kaminer团队计划扩展这个AI的技术，让它能生成更多类型的数学公式。

自动生成猜想并非计算机能够推动数学发展的唯一方式。虽然很多数学家更喜欢用笔和纸工作，但该领域的标准研究方法现在也包括使用数学软件，像是能计算复杂代数表达式的数学软件。

计算机辅助计算在证明一些备受瞩目的结果时起到了关键作用。近期，一些数学家也在更智能的AI上取得了进展，让AI不仅只会进行重复的计算，还可以自己证明。另一个正在成长的领域是让软件阅读人类写的数学证明，检查其正确性。

“到头来，人类会被淘汰。”Zeilberger说。他是自动化证明的先驱，帮助验证了拉马努金机的一些猜想[2]。他说，AI产生的数学运算会越来越复杂，数学家会跟不上计算机的思路，只能粗略理解计算过程的大概。

Andrew说，虽然计算机可以生成数学结论，甚至能证明其正确性，但是如果没有人类干涉，尚不清楚它们是否能从技术正确的结论中发现具有重大影响、真正有意思的结论。“除非我能从AI上看到良好的‘数学品位’，否则在我看来，AI在将来更像是一种重要的辅助工具，而不是独立的数学家。”

参考文献：

1. Raayoni, G. et al. Nature 590, 67–73 (2021).

2. Dougherty-Bliss, R. & Zeilberger, D. Preprint at https://arxiv.org/abs/2004.00090 (2020).

原文以AI maths whiz creates tough new problems for humans to solve标题发表在 2021年2月3日的《自然》的新闻版块上

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