何时x(ax+b)/2+y(cy+d)/2+z(ez+f)/2能表示所有自然数？

本文研究对怎样的整数六元组(a,b,c,d,e,f)多项式x(ax+b)/2 + y(cy+d)/2 + z(ez+f)/2在变元x,y,z取自然数值或整数值时可表示所有自然数。

对于整数m=3,4,…, 古希腊数学家依正m边形引入的m角数如下给出：p_m(n) = (m-2)n(n-1)/2+n(n=0,1,2,…). 特别地，四角数就是平方数，三角数形如T_n = n(n+1)/2(n=0,1,2,…). 1638年Fermat宣称每个自然数（即非负整数）可表成m个m角数之和，m=4时这由 Lagrange 在1770年证明, m=3时被Gauss在1796年解决, m ≥ 5的情形直到1813年才由Cauchy给出证明。p_m(x)在x取整数值时也给出自然数值，这些叫做广义m角数。

1862年Liouville定出了全部的7个正整数三元组(a,b,c)使得每个自然数可表成aT_x+bT_y+cT_z的形式，其中x,y,z属于自然数集N={0,1,2,…}. 2005年作者发起研究怎样的平方数与三角数混合和ax²+by²+cT_z或ax²+bT_y+cT_z可表示所有自然数，通过作者及其合作者的三篇论文，这问题在2009年获得最终解决。

2009年作者又发起研究怎样的三个多角数线性组合ap_i(x)+bp_j(y)+cp_k(z)可表示所有自然数(参见Sci. China Math. 58(2015), 1367-1396)，提出了许多猜想并证明了一些结果，例如：他猜测每个自然数可表成一个三角数、一个偶的四角数（即平方数）与一个五角数之和，并证明把五角数换成广义五角数时这是对的。韩国的B-K. Oh证明了作者在这方面的部分猜测。

本文考虑一般的三个单变元二次多项式和

x(ax+b)/2 + y(cy+d)/2 + z(ez+f)/2， （*）

这里a,b,c,d,e,f为整数，a≥c≥e>0, b>-a, d>-c, f>-e, 且a+b,c+d,e+f全为偶数。如果(*)在变元x,y,z取自然数时能表示所有自然数，我们就说它(或相应的有序六元组(a,b,c,d,e,f))在N上通用。Gauss的三角数定理相当于说(1,1,1,1,1,1)在N上通用。本文证明了在N上通用的 (a,b,c,d,e,f)只可能在我们具体列出的473个六元组中，我们还使用种种技巧证明了其中56个的确在N上通用，并猜测余下的候选（见该文附录）也都在N上通用。

在0≤b<a, 0≤d<c, 0≤f<e的情况下，如果(*)中和式在变元x,y,z取整数值时能表示所有自然数，我们就说它(或相应的有序六元组(a,b,c,d,e,f))在Z上通用。本文决定出所有这样的六元组候选(a,b,c,d,e,f)（共有12082个），并利用三元二次型理论证明了其中一些候选的确在Z上通用。

我们用个具体的例子来说明。作者猜测(1,1,3,1,5,1)在N上通用，即多项式

P(x,y,z) = x(x+1)/2 + y(3y+1)/2+ z(5z+1)/2

在x,y,z取自然数时能表示所有自然数。我们证不了这个并宣布悬赏135美元征解，但本文证明了P(x,y,z)在x,y,z取整数值时可表示任何自然数。

自然数的表示问题是数论的中心话题，本文展开了一个庞大的计划。要证明余下的上万个六元组（在N上或Z上）通用候选的确是通用的，将是长期而艰巨的任务。使用现有的三元二次型理论远远不足以完成这个任务，本文有望刺激出处理这类问题的新方法或新理论。

作者简介：

孙智伟，1965年10月生。现为南京大学数学系教授、博士生导师，数学系数学与应用数学专业主任, 中国数学会组合与图论专业委员会副主任，其研究方向为组合数论与加法组合。

他获过多项荣誉与奖励，例如：教育部首届青年教师奖、国家杰出青年科学基金与国务院政府特殊津贴。他在组合与数论交叉领域有许多创新成果, 迄今已在国外著名数学期刊《Trans. Amer. Math. Soc.（美国数学会汇刊）》等SCI杂志上发表了一百多篇学术论文。他还提出了许多原创性数学猜想，引起一些国际著名数学家的关注与研究。