数学 | 大自然创造的数-e

在我们接触过的一些常数中，π和е是耀眼的两个，很多很多的计算结果最终都会归结到这两个常数的相关项上去，足见它们在数学中的地位。其中π的含义似乎更明确，圆周率嘛，就是圆的周长和直径的比值。那е的含义呢？自然对数的底，为什么自然对数的底要选择е呢？е到底有什么物理意义呢？有科学家这么评价е—“е是充满生机的，当涉及增长时，它就会出现，无论是人口、金钱或其他的自然数量，它们的增长总是不可避免地会涉及е”。

е的含义

е的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。

е在生活中的阐释

怎么理解呢？举一个生活中的例子，钱的复利的问题。

假设我们考虑1年的定期存款，利率为100%（即自然数1），初始存款（本金）为￥10,000元，当然我们几乎不可能得到100%这么高的利息，这个数字仅仅是为了便于计算，我们完全可以将其推广到真实的利率。

在第一年结束时，按照100%的利率来计算，我们现在拥有了本金以及相应的利率￥10,000元，也就是现在的总额高达￥20,000元。现在我们假设以半年为一个结算周期，利率变为50%，那么在前半年结束后，我们得到了￥5,000元的利息，总额增加到￥15,000元。所以在全年结束时，我们将以这个基数计算利率，又得到￥7,500元的利息。一年结束后，我们最初的存款￥10,000元增加到￥22,500元！通过每半年计算一次复利，我们比一年一个结算周期的方式多得到了￥2,500元的利息。

但是，如果每半年计算一次复利可以使我们的本金获得更多的利息，银行也同样可以从我们欠银行的债务上获得更多哦利息，所以我们一定要小心！现假设将一年划分为4个季度，每个季度的利率为25%。经过类似的计算，我们发现本金￥10,000元增加到￥24,414元，即本息和在增加，对于￥10,000元的本金来说，如果能进一步减小计算利息的时间长度，我们将获得更多的利息。

有个问题来了，如果我们不断的减小利息计算周期，我们能得到无限多的钱吗？如果我们将一年时间继续划分为越来越短的周期，这个“极限过程”最终将使本息和停留在某一个常数上，如下面的表所示。

当然，现实中计算复利的最短周期是“天”，这个过程的数学结论是，“本息和”与本金的比值的极限值（数学家称之为е）是将复利的计算变得连续发生时，￥1元的本金最后所获得的本息和。

е的精确值

和π一样，е也是无理数，无限不循环，因此我们无法知道它的精确值，将е扩展到小数点后50位的结果是

2.71828182845904523536029747135266249775724

709369995

如果仅仅用分数，并且限定分母和分子都是2位数的话，е的最佳近似值是 87/32，有趣的是，如果将分母和分子限定到3位数，则最佳近似是 878/323。第二个分数恰好是第一个分数的一个回文展开。

关于е的一个经典的展开序列是：

可以说，е看起来应该有一定的模式。

欧拉恒等式

　　但凡说起e，一个必定要提到的公式就是欧拉恒等式——被誉为世界上最美丽的公式。

　　数学中最基本的5个常数——0、1、圆周率π、自然对数的底e和虚数单位i，以及数学中最基本的两个符号,等号和加号，就这样通过一个简单的恒等式联系在了一起，实在是让人叹服。

　　这个等式有个一几何的直观解释。一个实数在实数轴上可以用一个向量表示，旋转这个向量，就相当于乘以一个虚数i。据此建立一个以实数为横轴，虚数为纵轴的坐标系。实单位向量，每次逆时针旋转π/2, 可以分别得到结果1,i,-1,-i,1. 即转4次以后就回到了原位。而当实单位向量保持长度不变旋转θ角度，得到的向量就是：cosθ+isinθ。根据欧拉公式 e iθ = cosθ+isinθ可以看出 e iθ 就代表实单位向量1旋转θ角后而得到的向量。所以 e iπ 意味着单位向量逆时针旋转了π，结果显然是-1。

正态分布

　　正态分布是自然科学与行为科学中的定量现象的一个统计模型。各种各样的心理学测试分数和物理现象比如光子计数都被发现近似地服从正态分布，尽管这些现象的根本原因经常是未知的。而理论上则可以证明如果把许多小作用加起来看做一个变量，那么这个变量服从正态分布。

　　正态分布在生活中也可谓是无处不在。多次反复测量一个物理量，测出来的值一般来说总是呈正态分布;瓶装可乐的实际体积，也是正态分布;一大群人的寿命分布、智商分布等，也都是正态分布。而正态分布的表达式中，也神奇的出现了e。

　　伽马函数与斯特林公式

　　阶乘运算n!本来是定义在正整数上的。数学家最爱做的事情就是推广，因此阶乘函数自然不能幸免。当把阶乘函数推广到定义域为复数的时候，我们要寻找的函数就是一条通过了所有(n+1,n!)点的函数。所谓的伽马函数Γ(x)满足了这个性质，而伽马函数的表达式中又出现了e:

　　阶乘n!与e还有另一层神秘的联系。

　　当n趋于无穷大的时候，n!满足下面的近似关系式——斯特林公式：

　　(其中“~”符号表示同阶，可以大致认为是n趋于无穷大时的约等于)

　　要计算很大的阶乘值，位数受限而不能直接用计算机求出时，就可以用斯特林公式近似求出了。

　　调和级数

　　所谓调和级数，即1+1/2+1/3+1/4+…+1/n+...。它是一个发散级数，当n趋于无穷大的时候，这个和也将趋于无穷大。但是同样是发散的级数，发散也有快慢之分。调和级数发散速度是怎样的呢?伟大的欧拉发现的一个著名极限给出了答案：

　　因此调和级数的发散速度正是和以e为底的对数——ln函数的发散速度一致。

　　素数与e

　　素数(或称质数)是指除了1和它本身之外，无法被其他自然数整除的数。素数看似和e毫无联系，可是，素数分布的理论指出，素数的分布与e息息相关。如果用π(x)表示不大于x的素数个数(注意这里的π不是圆周率!)，那么素数分布中心定理指出

　　或者可以写成

　　注意到ln正是以e为底的对数。看，e就这样出现在了看似毫无关系的领域!

　　悬链线

　　数学史上曾经有一个著名问题，称之为悬链线问题：一根柔软不可伸长的链子，两头固定在空间中的两个定点上(这两个点不一定要等高)，链子形成的曲线是怎样一条曲线呢?这个问题和最速降线问题提出的时间很接近，而且参与者也大多相同。早在文艺复兴时代它就已经被达芬奇研究过，可惜并没有得到答案。伽利略猜想答案是抛物线，这也和很多人最初的感觉是一致的，可惜后来被惠更斯在17岁的时候证明是错的。

　　和最速降线问题一样，这一问题伯努利兄弟中的一个也曾公开征集解答，不过这次是哥哥雅各布，他在1690年的《教师学报》中发表了这个问题。在雅各布提出这一问题一年后的1691年6月，《教师学报》发表了惠更斯(当时已经62岁)、莱布尼茨以及约翰•伯努利提交的三份正确答案。三人的方法都不一样，但最终的结果却是一致的。而雅各布自己则并没能把它解出来，这让弟弟约翰•伯努利异常兴奋。

　　悬链线的正确方程是这样的：

　　它的发现在当时被看做是新微积分伟大成果的重要标志。而现在，悬链线则在世界著名的标志性建筑物——密苏里的圣路易斯大拱门——中永垂不朽了。

　　e一次次如幽灵般恰当的出现在了每一处，时常给人们带来惊喜。而上述这些，只不过它的冰山一角而已。

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