数学 | 要洗多少次牌才能把牌彻底洗开？

三次洗牌远远不够

永远不要以为，洗个两三次就能把牌洗开了。很多扑克牌小魔术就利用了三次洗牌远远不能把牌洗开的秘密。比方说，我拿出一副新牌给你，由你来负责洗牌。洗一次。再洗一次。你觉得还没洗开对吧，那就再洗一次。然后，请你偷偷看一眼最上面的那张牌，记下它的花色和点数，然后把它插到这摞牌中间某个位置去，再把整副牌给我。我便能挑出这张被动过的牌。

魔术的原理正如上文所说：把一摞排列有序的牌洗三遍，并不会让整副牌完全无序，排列顺序会有一个很强的规律。移动最上面一张牌的位置会破坏掉这个规律，从而露出马脚来。

为了更方便地做进一步说明，我们下面只用 13 张牌来举例。由于这是一副新牌，初始时这 13 张牌是有序的：

洗一次牌就相当于把上面这个序列分成前后两半，然后交错构成一个新的序列：

因此，洗完一次牌后，依次寻找 A, 2, 3, ..., J, Q, K 的位置，你会发现它们形成了两个“上升序列”（分别用两种颜色标了出来）。

那么，再洗一次牌会对这个序列造成什么影响呢？容易看出，第二次洗牌将会把每个上升序列都截成两半，然后再次相交错，得到四个上升序列（分别用四种颜色标了出来）：

如果此时把末尾的那张 7 移到中间去，你会发现这会打破“四个上升序列”的规律。因此，我们很容易辨认出，在下面的扑克牌序列中，7 本该放在后面：

但是在上面的例子中，这些上升序列都很短，理论上平均长度仅为 13 / 4 = 3.25。因此如果对方洗牌技术不佳，魔术有出错的可能。不过，如果把 52 张牌洗三次，将产生 8 个上升序列，平均每个上升序列的长度为 52 / 8 = 6.5，魔术表演的问题就不大了。

五次洗牌也洗不均匀

我们可以借助“上升序列”的思路来证明，五次洗牌也不能把牌彻底洗均匀，因为有一些排列永远不能仅用五次洗牌得到。不妨假设初始时扑克牌的顺序是 1, 2, 3, …, 51, 52，五次洗牌后最多会产生 2⁵ = 32 个上升序列。但是 52, 51, …, 3, 2, 1 这个排列中有 52 个上升序列，因此五次洗牌是绝对洗不出这样的排列的。事实上，所有上升序列数量超过 32 的排列都是五次洗牌无法得到的，这就证明了五次洗牌也不能把牌洗均匀。

看来，要想把牌洗开，六次是必需的了。

七次洗牌才足够

那么，究竟要洗多少次牌，才能让所有排列出现的概率大致相同呢？你别说，还真有人做过这样的研究。

1992 年，佩尔西·戴康尼斯（Persi Diaconis），美国数学家兼专业魔术师，与哥伦比亚大学的戴夫·拜耳（Dave Bayer）一道，为交叉洗牌法建立了一个数学模型，分析了包括上升序列在内的扑克牌排列性质，定义了 m 次洗牌后得到的排列分布与平均分布之间的“总变差距离”，最后发表了一篇 20 页长的论文。他们计算出，当扑克牌有 52 张，洗牌次数分别为 1, 2, ..., 10 时，总变差距离分别为 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 0.924, 0.614, 0.334, 0.167, 0.085 和 0.043。可见，五次洗牌才能让整副牌呈现出随机性，直到第七次洗牌才会让随机性显著增加；并且在此之后，总变差距离将大致以 1/2 的比例依次递减。因而他们的结论就是：七次洗牌才足够随机。

他们还对这个问题进行了渐近意义上的分析：当 n 足够大时，需要的洗牌次数大约为 3 log₂n / 2。

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