如何理解斯托克斯公式？

先给出公式是一种礼貌，斯托克斯公式有好几种形式。

如图，边界为  ，围成曲面为  ：

最简单的形式：

把旋度算子  和  展开，可以得到：

这一串公式还是蛮长的，这里提供一种记忆方法。

把曲线分别投影到  平面上可以得到另外的分项，我们把三个格林公式相加就得到上面这一大串公式：

实际证明虽然也是通过投影的办法，但有点不一样，只是最后凑起来有这样的巧合，拿来助记还是可以的。

1 斯托克斯公式是格林公式的推广

可以先阅读这篇文章来具体地理解格林公式。

在格林公式的文章中，我举了一个不那么严谨的比喻，打台球：

它的能量守恒是这样的：

击球的能量产生在桌面上，所以调整一下守恒式，就得到了格林公式：

实际上，没有人规定台球桌面必须是平的，台球桌面就是可以变来变去：

不管台球桌怎么变，不变的是能量守恒：

只是台球桌面不再是在二维空间了，进入了三维，这就得到了斯托克斯公式：

要强调下，打台球的比喻仔细说来，是有漏洞的：

• 台球桌上的力场不是一阶偏导连续的

• 边界上积分为0的才可以使用，因为等式右边没有计算边界，而格林、斯托克斯公式是要求计算边界的

虽然这个比喻不那么严谨，只是我觉得对我自己记忆很有启发性，而且琢磨这个比喻的适用范围也对理解这两个公式有帮助，所以我把这个比喻放上来的，希望对你们有帮助。

知道斯托克斯公式是格林公式的推广，可以尝试手动从格林公式推导一遍斯托克斯公式，也能加深理解，这里就不推了，书上有这个过程。

斯托克斯公式有个重要的应用，就是推出大名鼎鼎的麦克斯韦方程组的麦克斯韦-法拉第方程：

我们来看看是怎么推出来的。

为了写这一节的内容，我翻看了费曼的《物理学讲义》，看到下面这一段话：

不禁很感概。我们中国的各种王侯将相争斗了数千年，最后还是被西方的坚船利炮敲开了国门。真正改变历史的还是知识啊。

让我们从发电机的原理讲起。发电机无疑是电磁学的重大成果，点亮了整个人类。

2.1 发电机原理

以水力发电机为例，通过水力冲刷扇叶，带动发电机产生电力：

对于这个过程，麦克斯韦说，我们可以用齿轮来进行类比。

首先，水力冲刷齿轮转动：

再带动虚拟的、精致的“电磁齿轮”转动、转换，将水能变为电能：

接下来我们看看，这个“电磁齿轮”的工作细节是什么？

2.2 “电磁齿轮”工作原理

我们来看一个实验事实：

环形的是线圈（导体，但非铁的，不会和磁铁产生磁力），下降的是磁铁做成的小球。我们可以观察到，小球降落到线圈附近的时候，小球下降速度明显变慢，动能减少。

根据常识，能量是守恒的，那么减少的动能去哪里了？

转为了线圈内的电能：

2.3 电能的计算

就上面的实验现象，法拉第是这样解释的，磁铁小球下落过程中，导致通过线圈的磁场发生了变换，所以在线圈中产生了电流。

根据这个解释，法拉第总结出了电磁感应定律：

数学形式为：

其中：

•  是电动势，也就是转化到线圈内的电能。

•  是磁通量的变幻率，也就是磁铁小球下落过程中变化的磁场

  
  

 是转化到线圈内的电能，可以写为线圈的线积分（和力场做功是不是很像）：

其中，  代表线圈，  为电场。

通过斯托克斯公式可以把线积分改写为面积分：

其中，  为  围成的面。

而磁通量  顾名思义为磁场的通量（通量我在这篇文章里面介绍过），这么计算：

因此：

对比两式就可以得到，麦克斯韦-法拉第方程：

根据实验事实，加点斯托克斯的料，我们就得到了这个方程。

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