如何理解t检验、t分布、t值？
t检验、t分布、t值其实都是同一个数学概念中的不同部分。
1 t检验的历史
阿瑟·健力士公司（Arthur Guinness Son Co.）是一家由阿瑟·健力士（Arthur Guinness）于1759年在爱尔兰都柏林建立的一家酿酒公司：
不过它最出名的却不是啤酒，而是《吉尼斯世界纪录大全》：
1951年11月10日，健力士酒厂的董事休·比佛爵士（Sir Hugh Beaver）在爱尔兰韦克斯福德郡打猎时，因为没打中金鸻，于是和同行们争论哪种鸟飞得最快，彼此争论不休。由于当时的参考资料并不足以回答这个问题，这促使比弗想出版一本记载世界之最的书，这就是后来的《吉尼斯世界纪录大全》。
还有一个让健力士公司在历史留名的，就是他的员工威廉·希利·戈斯特（1876－1937）：
在健力士公司，戈斯特提出了t检验以降低啤酒质量监控的成本，但健力士酒厂为了保护公司的商业机密和智慧财产，明文禁止员工发表文章。
戈斯特并没有因为这项规定而放弃他的学术研究发表，他在《生物统计期刊》以“学生”（The Student）为笔名，发表了关于t检验的文章，所以t检验又称为“学生t检验”。
直到1937年，戈斯特因心脏病去世之前，健力士酒厂一直不知道戈斯特从事统计研究工作，并以“学生”笔名发表研究成果。许多统计研究者要和戈斯特见面，都必须像间谍电影般地秘密安排见面地点和时间。
现在位于都柏林的健力士专卖店中有一个戈斯特的纪念碑，上面写著“化学家、统计学家威廉·希利·戈斯特，首席酿酒师，学生t检验”：
啤酒，主要原料是大麦，啤酒厂肯定是希望尽力提高亩产。
比如，健力士公司有下面两块麦田：
左边的麦田采用传统A工艺进行种植，平均每株大麦可以结100粒穗子。
而右边的麦田采用改进过的B工艺种植，健力士公司想知道“B工艺是否提高了产量”。
为了节约成本、减小损耗，抠门的健力士公司从B工艺的麦田中采样了5株大麦，样本均值为120粒穗子。然后把难题抛给了戈斯特。
似乎直观看来产量提高了，毕竟均值增加了 ，可是戈斯特想得更多一些。
2.1 戈斯特的分析
戈斯特提出一个假设检验（关于假设检验可以参看这篇文章）：
假设：B工艺没有提高产量，即AB下的麦穗都是同一个分布
检验：看看在此假设下，
发生的概率高不高
已知的数据是，A工艺下的单株麦穗的个数服从 ，标准差
未知的正态分布：
而B工艺下的麦田的样本均值 ，采样了5株。
不同的标准差对应的正态分布图像不同：
图像的跨度由标准差 决定：
如果服从以下正态分布：
，跨度不大，采样五个点使其
的图像如下：
可见， 的概率非常低，即AB下的麦穗是同一个分布的可能性不大，我们有很大把握可以认为B工艺真正提高了产量。
而如果 服从的是跨度更大的正态分布，采样五个点使其
的图像如下（为了演示，正态分布的参数选的不是很严谨）：
这样的正态分布下， 的概率并不低，即AB下的麦穗还是可能为同一个分布的，我们没十足的把握认为B工艺提高了产量。
因此，看起来不能单纯依靠 ，或许除以样本标准差
可以消除跨度的影响：
因为A工艺的 我们不清楚，但是我们假设AB同分布，所以直接使用了样本标准差
。
当然，样本数 也会影响结果。比如说，在
下，得到
，那么根据大数定理，我们不用算了，基本上可以认为“B工艺提高了产量”。
所以，戈斯特认为应该综合考虑样本均值 、样本方差
和样本数
，给出了一个统计量t值：
该统计量越大说明AB工艺导致的差别越大，越有可能说明“B工艺提高了产量”。
3 t分布
对于t值：
对应的概率密度函数，也就是t分布为：
其中 ，也叫做自由度。而
为伽马函数。
接近于正态分布
（灰色的虚线就是
），下面是
的t分布：
而t值，实际上对应的就是横坐标的值，比如说t值等于4：
t=4之后的曲线下面积其实就是P值（关于P值可以参看这篇文章）：
所以，我们知道t值之后，就可以根据 以及要求的P值，查出当前的t值是否会拒绝我们的假设。
举个例子，比如本文中的AB工艺下的数据为：
计算出来：
服从 的t分布：
如果我们要求 的显著水平的话，那么就可以拒绝“B工艺没有提高产量”这个假设了。
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