星空中的N体问题（上）

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成书于战国时代的《列子》上，有一则耐人寻味的小故事，说的是从前杞国有个人，担心天会忽然塌下来，为此茶不思饭不想，每日辗转反侧。直到有位智者为他讲解了天体构成之后，终释疑惑，恢复了正常人的生活。这便是成语“杞人忧天”的来历。这则小寓言在我国流传了两千多年，我们总是以故事中那位不知名的杞国人为例教育后来者：不要总是为那些毫无根据，或者没有必要的事情担忧。依我看，这故事中所谓的智者，自然不可能懂得天体力学的知识，他之所以坚信天不会塌下来，依据的无非是祖祖辈辈的经验。是啊，太阳照常升起了几千年，如此朗朗乾坤，怎么可能说塌就塌呢？然而，从现代天文学的角度看，这则小故事却别有一番趣味在其中。那个杞国人所担忧的，不正是天地间的撞击事件吗？今天我们知道，这样的天灾并非全无可能，大名鼎鼎的恐龙就是这么灭绝的嘛！照此说来，那位两千多年前的杞人还真是有先见之明。也许是越来越多的人品味到了这层含义，“杞人忧天”这个原本纯贬义的成语，如今居然被国人解读出了开拓精神和忧患意识，更有甚者，还为“杞人忧天”的故事申请了国家级非物质文化遗产名录。

说到底，天上的星星究竟为什么不会掉下来呢？用天文学家的话说就是，我们的太阳系、银河系，或者说我们所寄居的宇宙，究竟是不是力学稳定的？这涉及到了数学里大名鼎鼎的N体问题（N-body Problem）。

如前所述，N体问题源于人们对世界稳定性的诘问，它其实是宇宙的一种极度简化的数学模型。它将宇宙诸星视作一群只有质量而没有体积的质点（mass point），将星体间的相互作用简化为纯粹的万有引力关系。可即便如此，在绝大多数情况下，这样的模型已足够对实际的星体运动做出精确的预言。海王星的发现便是一桩佳例。1846年，法国数学家勒维耶（Joseph Le Verrier）仅仅依据天王星的轨道扰动数据，便计算出了一颗未知大行星的轨道，并在随后观测中得以证实。后人将这件事视作经典力学的一次伟大成功，永载史册。它证明了太阳系一切行为背后的主宰并非虚无的上帝，而是简洁的万有引力定律。正如拉普拉斯曾经对拿破仑讲出的那句话：“陛下，我们不需要上帝那个假设。”

既然N体模型是现实宇宙一个足够好的近似模型，那么它的稳定性问题在三百多年间广受关注便在情理之中了。只需看一眼曾投身于该问题的那一长串天才数学家的名字，便足以震撼人心：开普勒、牛顿、约翰·伯努利、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、庞加莱、潘勒韦、伯克霍夫、柯尔莫哥洛夫、斯梅尔、阿诺德、夏志宏……尽管永恒的星空每天都会在窗外照常升起，不曾改变，但是，一代又一代的科学家依然通宵达旦地伏案工作，只为在数学上严格证明繁星之永恒。你可以将其理解为我们在上帝面前的某种可笑之处，可是换个角度看，它又何尝不是人类理性认知的伟大之处呢？

1900年8月8日，德国著名数学家希尔伯特（David Hilbert）应邀参加第二届巴黎国际数学家大会，并在会上做出了他人生中最重要的一次演讲，演讲题目就叫做《数学问题》。他根据过去，特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了新世纪数学家应当特别关注的23个最重要的问题，这些问题如今统称为希尔伯特问题。希尔伯特认为，一个好的数学问题应当具备两种特质：一是问题本身简洁易懂；二是解决该问题的过程需要创造新的数学思想。之后，希尔伯特以N体问题为例进一步阐述自己的主张。首先，N体问题具备鲜明的物理意义，问题本身足够简洁；其次，前辈们在尝试解决N体问题的过程中，诞生了许许多多全新的数学工具，比如牛顿的微积分、拉格朗日的分析力学、庞加莱的微分方程定性理论、混沌学等等。用希尔伯特的话说就是，困难的数学问题就像一只会下金蛋的母鸡。也难怪，当1994年费马猜想最终被普林斯顿大学的安德鲁·威尔斯（Andrew Wiles）解决后有人感叹：一只会生金蛋的母鸡被杀死了。

大卫·希尔伯特 （1862~1943）

与庞加莱并称数学史上最后两位全能数学家。他对于数学的发展有种鸟瞰式的展望，曾指出：科学在每个时代都有它自己的问题，而这些问题的解决对于科学的发展具有深远意义。只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止。

下面我们就按照N体数目递增的次序，依次追溯N体问题的数学研究同天文学发展的密切联系。

讲述N体问题，首先要从一体问题开始。这是个平凡情况。初中物理的第一课多半是要介绍牛顿运动三定律的。其中，第一定律告诉我们：不受外力的物体总会沿着直线匀速运动。这个结论最早由伽利略总结得出，象征着现代物理学的发端。尽管它同人们日常经验相违背，却是实实在在的实验和理性思维相结合所取得的真理。这种实验与理论结合的模式也是现代科学思想的精髓所在。如今，进入太空的宇航员处处都能感受到牛顿第一定律，由此所带来的生活不便也是他们首先需要适应的。

二体问题是天文学中最普遍的一种情形，也是应用最广的一种模型。这是因为在我们的太阳系内存在一个强大的引力中心——太阳。它的质量占据了太阳系全部质量的99.87%。相较之下，其余大行星和矮行星之间相互作用的量级都要小得多。以太阳为参照系，几乎所有的行星都在椭圆轨道上绕着它运转，太阳位于椭圆的一个焦点上。该事实最早由丹麦天文学家第谷·布拉赫（Tycho Brahe）首先注意到，后被他的助手：约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler）总结为行星第一运动定律。1687年，英国著名数学家、物理学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）发表了科学巨著《自然哲学之数学原理》，利用万有引力定律直接推导出了开普勒的行星运动三定律。尽管牛顿并没有在书中系统地求解过二体问题，不过，后人普遍相信他具备这样的能力。第一位在理论上详细求解二体问题的人，是瑞士数学家约翰第一·伯努利（Johann Bernoulli），他给出了两个受万有引力影响的星体可能的运动轨迹。这类轨迹在数学上有个统一的名称：圆锥曲线。它们的另一个名称叫做“二次曲线”。如今，任何一位受过系统训练的大学物理系本科生，都能轻而易举地推导出二体问题的解析解。

约翰·伯努利（1667~1748）

来自于大名鼎鼎的伯努利家族（Bernoulli Family）。伯努利家族在三代人中诞生了至少8位科学家，120位各界名人。其中以雅各布第一、约翰第一和丹尼尔第一最出众。约翰对微积分的贡献很大，曾以最速降曲线的难题挑战全欧洲数学家，还曾在悬链线问题上嘲笑他的哥哥雅各布。哥俩为后世留下了诸多逸闻趣事。

试用一张平面去截一组顶头的圆锥体，就能得到全部的圆锥曲线：交叉直线、椭圆、抛物线和双曲线。除了交叉直线象征着二体相撞的特殊情形外，其余三种曲线轨道都可以在太阳系内找到实例。比如，所有的大行星、矮行星、小行星和周期彗星的轨道是椭圆；非周期彗星的轨道一般是抛物线；闯入太阳系的银河系尘埃和部分非周期彗星的轨道是双曲线。学过高中数学的人都知道，椭圆是一类封闭曲线，而抛物线和双曲线都不是，它们从无穷远来，又返回无穷远处。因此，椭圆轨道的天体一定是周期性的，而抛物线和双曲线轨道的天体一定是非周期性的。后者现身星空的机会只有一次。说来也巧，圆锥曲线正是古希腊时代的数学家们最喜欢钻研的数学对象，尤其是公元前三世纪的古希腊数学家阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga），他曾出版过一本名叫《圆锥曲线论》的巨著，是古代数学最辉煌的科学成果之一。书中网罗了几乎所有关于圆锥曲线的数学定理，令后人难以超越。我们国家每一年的高考数学压轴大题，大概都是从这儿获取了灵感。

在理论上不难证明：行星受外力偏离原椭圆轨道后，只能在原轨道附近做小幅度的震荡，轨道参数的误差项都不会随着时间流逝而发生积累。这说明二体系统是力学稳定的。因此，即便是在遥远的恒星世界里，二体系统也普遍存在，那便是所谓的双星体系，即两颗恒星围绕它们共同的质量中心旋转而形成的系统。习惯上，质量较大的一方称为主星，质量较小的称为伴星。比如著名的天狼双星，我们肉眼所能看到的全天最明亮的恒星——天狼星，即为天狼A。它是一颗主序星，视星等-1.47等，呈现出迷人的蓝白色。1844年，德国天文学家贝塞尔（Bessel）发现天狼星的移动轨迹呈现出不寻常的波浪状。贝塞尔据此推断天狼星的旁边有一颗隐匿的伴星，绕转周期约为50年。1862年，美国天文学家克拉克（A. Clark）利用自制的4.7米口径折射望远镜，直接观察到了这颗7等的伴星。后来的观测表明，天狼B的质量同太阳相当，半径却不到太阳的百分之一。如此高的密度说明天狼B只能是一颗白矮星。这也是天文学家确认的第一颗白矮星。天狼双星间的角距离一直在缓慢变化中，变化范围在3角秒至11角秒之间。本世纪头三十年均为逐年远离的过程。如今，只需一架口径10英寸左右的业余光学望远镜，配以高灵敏度的数码相机，即可分辨出黯淡的天狼B。

哈勃望远镜拍摄的天狼双星

图中左下角的小星点即为天狼B。天狼双星的光度差约有2500倍，距离约为20个天文单位，相当于太阳到天王星那么远。

除了天狼双星外，还有一些非常著名的亮恒星，也都是双星系统。比如天蝎座的心宿二、猎户座的参宿七、天鹅座的辇道增七（参见图4）、小犬座的南河三、半人马座的南门二、御夫座的五车四等等。实际上，像太阳这样孑然一身的单星在银河系里并不多见，绝大多数恒星都从属于某个双星，甚至是多星系统。能被光学望远镜直接分辨出来的双星称为光学双星。光学双星间的距离通常都在几百，甚至上千个天文单位。至于那些间距为几个天文单位的双星，虽然常见，可是它们间的角距离往往都超出了地面望远镜的分辨能力，只能依靠灵敏的分光仪来分辨。这样的双星被称为分光双星。光学双星系统的结构通常比较松散，主星和伴星间距很远，它们各自很可能也都是分光双星，从而构成一个复杂的聚星系统。比如北斗七星勺柄的第二颗：开阳，人们很早就知道它的旁边有一颗黯淡的小星。古代阿拉伯人曾用它检验士兵的视力。开阳旁的小星在中国被叫做“辅”，天文学家将它编为大熊座第80号星。天文望远镜发明以后，人们发现开阳星本身就是一颗光学双星，开阳A和开阳B角距约14.4角秒。分光仪发明后，人们又发现开阳A和开阳B分别是一对分光双星。如此一来，再加上“辅”星以及旁边的另一颗暗星，开阳星实际上是一个六合星系统。类似地，双子座的北河二在业余天文望远镜的视野里，也是一颗美丽的光学双星。分光仪证明它也是一个六合星系统。如此种种，推动着数学家们继续讨论更多N体系统的稳定性问题。

天鹅座的辇道增七双星

角距35角秒，全天最美丽的双星组合之一。主伴双星的黄蓝搭配好似星空中一对耀眼的宝石。辇道增七的主星实际上已进入红巨星阶段，伴星则是一颗蓝色的B型主序星。

前段时间，由于刘慈欣的科幻小说——《三体》的热卖，数学里的三体问题在中国一夜之间变得火热起来，网上的科普文章也多了许多。小说将“三体问题”的不可解性，升级为三体文明生存下去的一个命门，紧紧抓住读者的神经，不断推动故事情节的发展。可是这其中有个小小的漏洞：三体行星的运动在数学上应该属于一个四体问题，而不是三体问题。当然，这样的漏洞无伤大雅，况且现实的情形与小说的出入还不止于此。首先，三体文明所在的半人马座α星，并不是一个纯粹的三合星系统，而是两组近似的双星系统。如前所述，南门二A和南门二B首先构成了一组相距较近的光学双星，轨道半长轴约为23.5个天文单位（比太阳到天王星的距离稍远）。相较之下，比邻星与南门二双星的距离差不多有15000个天文单位（合0.24光年），是前者的六百多倍！所以，比邻星只是一颗在遥远的外围轨道围绕南门二双星旋转的暗弱的红矮星。另外，像《三体》里所描述的那种纯粹的三星系统，实际的演化时间一般不超过几千年，之后就会被瓦解。瓦解的方式分两种：一种是两颗星体发生碰撞；另一种是一颗星体被甩出三体系统。而恒星的年龄都以亿年计。所以，小说里的那种三星系统可以认为是不稳定的。那么，真正稳定的三体系统是怎样的呢？

事实上，每天徘徊在地球家门口的月球就是一个活生生的三体系统的例子。月亮同时受到地球和太阳的引力牵制，在宇宙空间中沿着一条类似于旋轮线的复杂轨迹运行不息。作为地球的天然卫星，月球在自己的轨道上稳定运行了几十亿年，期间不曾发生碰撞，也不曾被甩出日地系统。我们常说月亮围着地球转。实际上，月球围绕地球的运动与地球围绕太阳的运动还是不能相比拟的，前者的复杂性要远高于后者。我们前面介绍的许多二体问题的结论，都无法应用于月球身上。譬如行星星历表的计算，若要获得任意时刻地球在绕日轨道上的二维坐标，只需用牛顿迭代法求解一个开普勒方程即可。它是人们在实际应用中最早接触到的超越方程之一。然而对于月球来说，它的轨道参数本身也在不断变化之中，根本不可能只求解一个超越方程便得出月球的位置。十九世纪六十年代，天体力学的摄动理论逐渐发展成熟。法国天文学家、数学家查尔斯·德劳奈（Charles-Eugène Delaunay），于1860年和1867年分别发表了两卷长达900多页的论著，专门讨论月球的运动问题。为了计算月球在任意时刻的坐标，德劳奈在书中给出了一种无穷级数逼近的算法。理论上，这能使月球的星历计算达到比较高的精度。可是，级数逼近算法所需的庞大计算量又令人头疼不已。好在计算机的诞生，将星历编纂者从浩繁的计算中拯救了出来。如今，就连一部不起眼的小手机，都能在一瞬间算出上下几千年的月球星历表，甚至将几千年后的日、月食的发生时刻精确到零点几秒。这不能不说是人类对抗不可解的三体问题所取得的一种胜利。

未完待续·········

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作者：陈厚尊

编排：邱煜欣

责任编辑：解仁江

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