自然数到底是否包括「0」？
这是一个没有定论的问题。
我个人是支持自然数包含「0」的，并且：
下面尝试描述下关于这个问题的各个方面。
1 现实生活
数数的时候，我们一般从1开始数：
尺子却是从0开始丈量：
那么是从“0”开始“自然”还是从“1”开始“自然”，在不同历史不同文明中颇有争论。
我们看看数学家是怎么认识这个问题的？
朱塞佩·皮亚诺 （1858－1932）是意大利数学家、逻辑学家、语言学家。
他在1889年发表的《算术原理新方法》中提出了定义自然数的五个公理，史称皮亚诺公理：
从这篇历史文献来看，公理明确指出自然数是从1开始的，翻译为易读的语言大概是（关于这五个公理的详细解释请参考这篇文章，不过此文是从0开始介绍自然数的）：
公理1：1是自然数。
公理2：每一个确定的自然数
，都有一个确定的后继数
，
也是自然数。
公理3：1不是任何自然数的后继数。
公理4：不同的自然数有不同的后继数。
公理5：任意关于自然数的性质，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数
为真时，可以证明它对
为真，那么命题对所有自然数都真。
简而言之，皮亚诺公理通过1和它的后继数们，构成了自然数：
这些自然数在不同的文化中有不同的命名：
很显然，就上述五个公理而言，从0开始还是从1开始都是符合的：
哪怕从22开始都可以，不过从22开始很不符合常识，这个就不讨论了。
那么究竟应该0还是从1开始自然数呢？
3.1 加法、减法、整数
有了皮亚诺公理，就比较容易定义加法了（关于加法的定义，请参考这篇文章，下面的用法比较通俗，可能产生混淆）：
那么如果有0的话，可以这么来表示“原地踏步”：
抵消相加效果，使之“原地踏步”的运算，就是加法的逆运算，减法（其实可以跳过“原地踏步”这个定义，可自行思考）：
我觉得更有用的是，有了0之后，还可以定义相反数：
则 为相反数。这样就可以通过加法，把自然数扩展到整数：
3.2 群论
上面说的并不严格，从群论角度更严格一些（关于群论请参考这篇文章）。
首先来看下半群：
封闭性：对于
，有
结合性：对于所有
，有
在半群基础上，增加：
单位元：存在
，使得对于所有
中的元素，有
幺半群的基础上，增加：
逆元：对于
，存在
，使得
，其中
是单位元
半群、幺半群、群之间的关系是：
群的性质好于幺半群，好于半群。
可见“0”在其中起到了重要作用，在这里，“0”比“1”要重要。
3.3 自然数与群论
如果自然数从1开始，结合上加法，那么满足：
封闭性：对于
，有
。
结合性：对于所有
，
此时定义出来的自然数是一个半群。
增加加法的单位元：
此时定义出来的自然数是一个幺半群，自然数需要从0开始。
增加加法的逆元：
可以得到整数，这是一个完整的群。
因此：
我想，这大概是一部分数学家支持自然数包含0的主要原因。
4 另外的构造方式
除了皮亚诺公理以外，还有等效的构造方式。
Zermelo-Fraenkel的构造方式：
Von Neumann的构造方法：
构造的开始都是 ，所以一般都会认为是从0开始的。
5 总结
当然，如果自然数不包含0，至少有以下好处：
，总是成立
，总是成立
国外有些教材好像自然数不包含0，最保险的或许如下表示包含0或者不包含0：
其中， 是整数。
或许，自然数不自然，有理数不有理。
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