能够证明“3=0”吗？

之前在我们课程的答疑群中，有同学问了这么一个问题，已知：

从已知出发可以得到两个代数式：

综合  、  两个代数式可以得到：

将这个解代回原来的方程去验算：

错在哪里？

根据 代数基本定理：

最初的一元二次方程在复平面上有两个根：

这两个根正好在复平面上的一个圆上：

而变换之后得到的新的方程，却有三个根：

这三个根也在这个圆上：

多出来的这个根其实并非原方程的根，就是这个根导致了错误的结果。

代数基本定理虽然很漂亮，也可以解释文章开头的矛盾，但到底哪一步有逻辑错误，从而引入了这个矛盾？

3.1 不等价的步骤

在整个变换过程中，红色标注的步骤是不等价的：

在数学中，如果不能双向推，那么两者其实是不等价的。而这里红色的步骤是不能反着推：

由于不能反着推，所以：

更通俗点说，不等价的意思是两者并不完全一样，所以由后者得出的结论：

并不一定可以代入前者去验证。

3.2 换一种方法

可能大家还是看不出来为什么不能反着推，我们换一种方法来解释。之前的变换完全可以改写为下面的形式：

红色的步骤是通过左右两边同时乘以  得到，如果想要反推回去，这需要在两边同时除以 ，但是  有可能为0，所以是反推不回去的：

除非增加一个条件才能反着推：

增加的这个条件正好避免出现：

的错误。

数学的本质是由逻辑推理出来的一个虚拟世界。各种图像、动图，比如（节选自我们的课程）：

可以帮助建立对这个逻辑世界的直觉。但是，我们还是需要通过代数来构造这个世界，通过代数来理解这个世界。

在代数的学习中，你会在一思一辨、一琢一磨之间，得到细致入微的逻辑快感，也是数学美之所在。

就像本文开头提到的逻辑错误，如果沉浸其中，仔细思考，最终能够理解，此时就好像准备很久终于完成一道大餐，食物入口的瞬间，愉悦感达到顶峰。

旧的一年马上过去了，马同学完成了《线性代数》、《单变量微积分》课程的撰写，希望能够呈现一点点数学之美。在即将来到的新年，我们也会不忘初心、砥砺前行，在这里给大家拜一个早年。

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