游戏与概率有何不解之缘？

爱因斯坦那句经典的名言“上帝永远不会掷骰子”相信大家都听说过，概率已经从一种工具上升到了世界观的层面。而概率最初从何而来，它与游戏又有哪些渊源呢？

　　概率论作为数学领域的一大分支，是进行科学研究的重要工具。我们的日常生活中也经常说到概率，或者是它的其他叫法比如“几率”、“可能性”等等。伴随着20世纪量子理论的兴起，整个世界都变得“概率”了，以往的严格决定论被不确定性原理所取代。爱因斯坦那句经典的名言“上帝永远不会掷骰子”相信大家都听说过，概率已经从一种工具上升到了世界观的层面。而概率最初从何而来，它与游戏又有哪些渊源呢？

概率论是怎样从游戏中诞生的？

　　说了半天的“概率”，我们还是先了解下概率的定义吧。概率是对随机事件发生可能性的度量，也有人叫它机会率、几率等，通常使用0~1之间的数表示，有时候我们也会用百分数表示，道理是一样的啦！1或者100%表示这个事情一定会发生，反过来，0或者0%（其实还是0）表示事件一定不会发生，从0~1之间的数就表示事件发生的可能性，越大发生的可能性越大，反之亦然。概率论则可以通俗的理解成研究概率的理论。

　　概率论的诞生颇有些戏剧性，在文艺复兴时期，意大利有位学者名叫卡尔达诺（Girilamo Cardano，也译作卡当），这位学者也算是个全才，在数学、物理、占星方面都有所研究，还是个医学博士，唯一的缺点就是好赌，而且赌运不佳。当时的赌博就是最简单的掷骰子，也就是骰子游戏，我们的卡尔达诺就在这小小的骰子上输掉了大量的家产。卡尔达诺先生充分发挥了自己的专业技能，开始专研怎样赌骰子胜算比较大，最后还整理出来了一部专著《论赌博游戏》。在这本书中，卡尔达诺描述了概率的古典概型，得出了“同时投掷两个骰子，出现的点数之和是7的可能性最大”的结论。只是不知道这个结论有没有让卡尔达诺在骰子游戏中占得先机。

　　无独有偶，100多年后，法国的赌徒梅内（Chevalier de Mere，也译作梅累）又遇到了概率难题，他玩骰子，有两种玩法，一个是掷一个骰子4次，看这4次中是否能掷出一个6；另一个是同时掷两个骰子，连续扔24次，看能否出现一次点数和为12的情况。梅内觉得两者赢得可能性是相等的，事实却是第一个游戏他赢得多一些，而第二个输得多一些。

　　梅内虽然不像卡尔达诺一样是个数学家，但是梅内有懂得数学的朋友。梅内把他的问题和当时的著名数学家帕斯卡说了（就是那个物理学家帕斯卡，他其实也是数学家），除了这个问题还有几个其他的梅内在赌桌前遇到的困惑，包括著名的“赌金分配”问题。这几个问题激起了帕斯卡的兴趣，在随后的几年，他与另一位数学家费马通过信件交流，解答了赌金分配的问题，并且定义了概率。后来，惠更斯也加入了进来，并在讨论的基础上写出了《论赌博中的计算》。这也被认为是概率论的开山之作，在书中描述了概率论的基本公理体系，从此概率论脱离了骰子游戏。

概率是怎样融入到游戏中的？

　　此后漫长的岁月，见证了概率论的发展和在社会各个领域的应用。而我们的游戏也在近一个世纪开始出现了新的形态——桌面游戏。严格地说，桌面游戏的历史可以追溯到几千年以前，但是桌面游戏的复兴的确是在20世纪初期才开始的。

　　在国内，让桌游突然火起来的功臣非“三国杀”莫属了，最近几年，三国杀可以算是风靡大江南北，长年占据国内桌游销售榜首位，除了是以三国历史为背景，另一方面也是游戏的平衡性做得很好，技能设计比较合理。为了保证每个玩家都能很好的体验游戏，每个技能的强度要大体相等，这就需要概率在背后做支持。下面我们来举个例子看一下，概率是怎样支持着游戏的。

　　周瑜的技能“英姿”（英姿：摸牌阶段，你多摸一张牌）、貂蝉的技能“闭月”（回合结束阶段，你可以摸一张牌）和甄姬的技能“洛神”（洛神：回合开始阶段，你可以进行判定，若牌为黑色，立即获得此牌，并可以再次使用洛神——如此反复，直到出现红色判定牌为止。）

　　这三个技能是标准版中补牌的好技能，第一个“英姿”和第二个“闭月”，除了时机不同，强度是一样的，都是摸一张牌。而“洛神”技能使用起来的不确定性可就要大得多，有人说“洛神”太厉害了，一次可以摸好多张牌；有人说“洛神”太弱了，经常一张牌都摸不到。为了准确衡量“洛神”的强度，我们引入概率论来解释这一问题。

　　回顾之前的基本定义，结合上面的例子，不难发现“英姿”和“闭月”摸一张牌的概率都是100%，而洛神的话概率相对来说要麻烦一些，我们先要了解牌库的构成。首先要知道的是，三国杀的牌库中红色和黑色各一半，牌库用完会洗牌，那么在假设牌库是无限的情况下，每次打开一张判定牌，红色和黑色的概率是相等的都是0.5，如果第一张是红色，那么这次技能就结束了；如果是黑色，我们可以再打开一张，同样红黑的可能性是相等的而且是对半的，那么第二张摸到红色卡牌的概率是0.5的平方，也就是0.25，此时，洛神的收益是一张，以此类推，可以得到下表

　　为了计算最后总体的收益，我们引入概率论里面的又一个重要概念——“期望”。

　　期望是指一切可能值与其对应的概率的乘积之和，在这个例子中可能值就是指的洛神的收益，也就是第一行，而对应的概率就是指同一列中最后一行的数值，对应相乘再相加。

　　那么，洛神的期望收益可以用这个算式来表示

P洛神=0×0.5+1×0.52+2×0.53+3×0.54+4×0.55+…+n×0.5n+1

　　这个算式里面P是英文单词“收益（profit）”的缩写，n是正整数，趋向于无穷。

　　现在，我们有了算式，但是要怎么计算呢？这个算式倒是可以看成是数列求和，但是也不是等差数列也不是等比数列，而是两种数列的混合，面对这种数列求和，我们可以使用“错位相减法”。

　　具体的做法是，将整个算式乘以0.5，算式就变成了

0.5×P洛神=0×0.52+1×0.53+2×0.54+3×0.55+…+（n-1）×0.5n+1+n×0.5n+2

　　两个算式做减法，0.5的同次方项对应相减，可得

0.5×P洛神=0.52+0.53+0.54+0.55+…+0.5n+1-n×0.5n+2

　　这样就看到了我们熟悉的等比数列了，运用等比数列求和公式，Sn=a1(1-qn)/(1-q)，（其中a1为首项，q为公比）

P洛神=1-(1+0.5×n)×0.5n

　　当n=10的时候，洛神的期望收益，0.994≈1，当n取更大的值得时候期望收益会变得更接近于1，n等于几，表示你限定最多抽几次牌，而期望收益约等于1，则说明在多次使用这个技能的时候平均每次的得牌数会稳定在一张。这和周瑜的“英姿”、貂蝉的“闭月”是等价的。不同的是，“英姿”、“闭月”是稳定的每回合一张，而“洛神”是多次使用平均每次一张，会有比一张多，也会有一张都拿不到，但是多次使用的平均效果会是一张。在保证预期收益相等的情况下，增加了技能的变化，丰富了游戏的可玩性，概率就这样在背后默默地支持着游戏机制的均衡。

　　概率论在游戏中的应用当然不仅限于此，事实上，在一些大型的电子游戏中也应用了概率论，有些概率甚至可以反映在游戏的面板上让我们看到，比如RPG游戏里面的数值，有些概率我们只能看到对应的随机事件的发生，比如射击游戏里的子弹轨迹。可以说，有了概率论，以及计算机处理器强大的运算能力，才使得游戏世界变得更加多变，更加贴近我们的真实生活。

参考文献：《数学理论：在意想不到的地方与实际相遇》

来源：蝌蚪五线谱