1 + 2 + 3 + 4 + ...... = −1/12？

在Joseph Polchinski的著作《弦理论》一书中有这么一个等式（下图红色框框内）：

Volume I: String Theory. （© Joseph Polchinski）。Joseph Polchinski是著名的弦理论家，在2012年的时候和他的同事提出了“黑洞火墙理论”。

这个等式表述的是所有自然数的和1 + 2 + 3 + 4 + ...... = −1/12。

是不是有些不敢相信？将正整数无穷相加后，竟然得到了一个负数！

首先，无限个自然数相加的和并不等于 −1/12。这很容易被说服：

......

等等。当 n 越来越大时，S𝑛也就越来越大。举个例子，当 n=1000 时，就会得到

当 n=100,000 时，得到

这也是数学家所说的

的和发散至无限大。或简单的说，这个级数的和等于无限大。

那么，−1/12到底是怎么来的？这个错误的结果其实可以追溯回1913年著名的印度数学家拉马努金的工作（可查看拉马努金求和）。但是拉马努金知道自己在做什么，并且他是有理由的把它写下来。当时他正在研究欧拉𝛇函数。要理解这是什么意思，首先考虑无限和

我们可以把它写成

现在，这个和就不再发散了。如果取一序列的部分和：

......

你最终得到的结果会无限接近（但不超过）π²/6 （= 1.644934...）， 数学家说该和收敛至 π²/6，或简单的说这个无限和等于 π²/6。

现在，如果把分母中自然数的平方改成其它的幂会发生什么？

只要 x > 1 ，S(x) 就会收敛至一个有限的值。S(x) 被称作函数，而欧拉𝛇函数则是得名于17世纪的大数学家莱昂哈德·欧拉。欧拉计算出 S(2)= π²/6 的时候才28岁，他因此一举成名。

到目前为止看起来一切顺利。但是，如果取x的值小于1会发生什么？比如，x = −1？

我们就回到了原点，我们知道这个无穷级数是发散的。对于所有 x 小于或等于1的值都会发生同样的情况：无穷级数是发散的。想要得到一个有限的值就必须使用数学中的复分析。

1859年德国的数学家波恩哈德·黎曼发表了题为“在给定大小之下的素数个数”的论文。他找到了一种方法，即使 x 的值小于或等于1，也会得到一个有限的值。换句话说，他定义了一个新的函数，称为 𝛇(x)，因此对于 x > 1，我们有

当 x ≤ 1时，函数 𝛇(x) 被很好的定义并且有个有限的值。这个拓展的方法称作解析延拓，这个新的函数被称为黎曼𝛇函数。

现在，我们有一个新的函数 𝛇(x)，当 x > 1 时，它与欧拉𝛇函数 S(x) 相吻合。但是，当你把 x ≤ 1 的值代入 𝛇 函数时，就会得到一个有限的值。把 x = −1 代入 𝛇 函数，就会得到：

如果你错误的认为当 x = −1 时，𝛇(x) = S(x)，你就会（错误的）得到

这是其中一个使拉马努金的神秘表达式看起来有意义的方法。

注：在黎曼1895年发表的论文中，他提出了关于 𝛇(x) 性质的一个猜想。黎曼的这个猜想尚未被证明，它是基础数学最重要的课题之一。大卫希尔伯特于1900年提出的23个问题，以及克雷数学研究所于2000年公布的千禧年大奖难题都收录了这一课题。想要赢取100万美金的读者赶紧对“黎曼假设”发起挑战吧！

那么这个错误的结果为什么会出现在物理教科书中？这也是事情变的有意思的地方。如果你把一对金属板相互平行地放置在真空中，并且让它们靠近。根据经典物理，它们之间不会有任何力的作用。但是经典物理并不能解释微观世界的种种奇怪效应。这个时候你就需要量子物理，在量子世界中有许多无法用经典眼光去看待的问题。其中一个就是真空并不空，而且非常活跃，在真空中会有许多虚粒子不断地出现和消失。这个活动就会使真空存在所谓的零点能：一个物理系统所拥有的最低能量永远不为零。

当你尝试利用量子物理计算两个平行金属板之间的总能量密度时，你就需要知道无限和

这个无限和也是当你把 x = −3 代入欧拉的𝛇函数时会得到的：

不幸的是，因为这个无穷级数会发散（发散的比S(−1)还快），这就意味着会有无限大的能量密度。显然，这不科学。但是，如果你厚脸皮的假设这个无穷级数等于黎曼𝛇函数，而不是欧拉𝛇函数，这个时候当 x = −3 时会得到什么？没错，你会得到一个有限的能量密度。这意味着在平行金属板之间存在着很小的吸引力，这显然听起来也很荒谬，因为经典物理认为它们之间不存在力的作用。

卡西米效应。（© Wikipedia）

然而，实验是一切知识的试金石！当物理学家对此做实验的时候，的确发现平行金属板之间存在很小的力，会使平板被拉到一切，而它对应的能量密度正好等于 𝛇(−3)！！！

这个令人惊喜的物理结果就是所谓的卡西米效应。

量子物理告诉我们能量密度必须是

这很荒谬，但是实验却告诉我们如果你（错误的）把这个无限和当做𝛇函数，并计算 𝛇(−3) 的值，你就会得到正确的答案。看起来，自然似乎更喜欢这个结果。（在一维情形的卡西米效应，而不是三维时，那么我们要计算的能量密度就是 𝛇(−1) 而不是 𝛇(−3)。）

1 + 2 + 3 + 4 + ...... = −1/12的这个结果被广泛的应用在物理学当中。比如弦理论认为空间维度为25维，以及超弦理论认为空间维度为9维，都是基于这个结果从而推导出来的。

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