如何通俗解释欧拉公式?
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本文授权自马同学高等数学
欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域,建立和三角函数和指数函数的关系,被誉为“数学中的天桥”。形式简单,结果惊人,欧拉本人都把这个公式刻在皇家科学院的大门上,看来必须好好推敲一番。
1 复数
在进入欧拉公式之前,我们先看一些重要的复数概念。
1.1
的由来
,这个就是
的定义。虚数的出现,把实数数系进一步扩张,扩张到了复平面。实数轴已经被自然数、整数、有理数、无理数塞满了,虚数只好向二维要空间了。
可是,这是最不能让人接受的一次数系扩张,听它的名字就感觉它是“虚”的:
从自然数扩张到整数:
增加的负数可以对应“欠债、减少”
从整数扩张到有理数:
增加的分数可以对应“分割、部分”
从有理数扩张到实数:
增加的无理数可以对应“单位正方形的对角线的长度(
)”
从实数扩张到复数:
增加的虚数对应什么?
虚数似乎只是让开方运算在整个复数域封闭了(即复数开方运算之后得到的仍然是复数)。
看起来我们没有必要去理会
到底等于多少,我们规定
没有意义就可以了嘛,就好像
一样。
我们来看一下,一元二次方程
的万能公式:其根可以表示为:
,其判别式
。
:
有两个不等的实数根
:
有两个相等的实数根
:
有两个不同的复数根,其实规定为无意义就好了,干嘛理会这种情况?
我们再看一下,一元三次方程
,一元三次方程的解太复杂了,这里写不下,大家可以参考维基百科,但愿大家能够打开。
我们讨论一下
,此时,一元三次方程可以化为
,其根可以表示为:
其中
。
判别式为
,注意观察解的形式,
是被包含在根式里面的。
:
有一个实数根和两个复数根
:
有三个实数根,当
,根为0,当
,三个根里面有两个相等
:
有三个不等的实根!
懵了,要通过复数才能求得实根?
要想求解三次方程的根,就绕不开复数了吗?后来虽然发现可以在判别式为负的时候通过三角函数计算得到实根,但是在当时并不知道,所以开始思考复数到底是什么?
我们认为虚数可有可无,虚数却实力刷了存在感。虚数确实没有现实的对应物,只在形式上被定义,但又必不可少。数学界慢慢接受了复数的存在,并且成为重要的分支。
1.2 复平面上的单位圆
在复平面上画一个单位圆,单位圆上的点可以用三角函数来表示:
我们来动手玩玩单位圆:
1.3 复平面上乘法的几何意义
同样来感受一下:
2 欧拉公式
对于
,有
。
----维基百科
欧拉公式在形式上很简单,是怎么发现的呢?
2.1 欧拉公式与泰勒公式
欧拉最早是通过泰勒公式观察出欧拉公式的:
将
代入
可得:
那欧拉公式怎么可以有一个直观的理解呢?
2.2 对同一个点不同的描述方式
我们可以把
看作通过单位圆的圆周运动来描述单位圆上的点,
通过复平面的坐标来描述单位圆上的点,是同一个点不同的描述方式,所以有
。
2.3 为什么
是圆周运动?
定义
为:
----维基百科
这是实数域上的定义,可以推广到复数域
。根据之前对复数乘法的描述,乘上
是进行伸缩和旋转运动,
取值不同,伸缩和旋转的幅度不同。
我们来看看
如何在圆周上完成1弧度的圆周运动的:
从图上可以推出
时,
在单位圆上转动了1弧度。
再来看看
,这个应该是在单位圆上转动
弧度:
看来
确实是单位圆周上的圆周运动。
动手来看看
是如何运动的吧:
2.4
的几何含义是什么?
看不出来有什么几何含义,不过我们稍微做个变换
,几何含义还是挺明显的,沿圆周运动
弧度。
2.5 欧拉公式与三角函数
根据欧拉公式
,可以轻易推出:
和
。三角函数定义域被扩大到了复数域。
我们把复数当作向量来看待,复数的实部是
方向,虚部是
方向,很容易观察出其几何意义。
2.6 欧拉恒等式
当
的时候,代入欧拉公式:
。
就是欧拉恒等式,被誉为上帝公式,
、
、
、乘法单位元1、加法单位元0,这五个重要的数学元素全部被包含在内,在数学爱好者眼里,仿佛一行诗道尽了数学的美好。
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