线性代数拾遗（一）：线性方程组、向量方程和矩阵方程

算法与数学之美

前言

线性代数在各大理工科，乃至经济金融领域的使用之广泛，毋庸置疑。一直以来，我虽也知道线性代数的重要，但从内心上其实一直是犯怵的（尤其是学习论文、算法中，基本只要看到对方把算法向量化之后就蒙圈了），当年在学校学习过程中很多也是靠着死记硬背过来的，对它的直观意义一直都没能有很好的理解。

最近，这么一本书进入了我的视线：《线性代数及其应用》，听书名感觉平平，但只翻了几页就感觉十分过瘾，仿佛打通了任督二脉。以往很多死记硬背的知识点在这本书的解释下，变成了可以直观推导出来的结果。这本书不仅对线性代数的基本概念阐述地很直观形象，而且还有许多现实生活中的应用，特别是经济、物理、计算机领域，真正让人领略到线性代数作为现代数学的魅力。

我特将自己的读书总结和体会记录于此，也是希望借此加深自己的理解。

注意，这个系列假设你已经有了线性代数基础，像是行变换、将矩阵转换为行阶梯形式这种基本技巧已经掌握。本文不再赘述具体操作步骤，主要关注于概念的直观理解。

线性方程组、向量方程和矩阵方程

一、线性方程组

线性代数，最基本的问题，就是解线性方程组了。线性方程组就是一组形如 a1x1+a2x2+⋯+anxn=ba1x1+a2x2+⋯+anxn=b的方程。一个线性方程组中的变量是相同的，如果第一个方程是关于 x1⋯xnx1⋯xn 的，那么其他的也都应该如此（这些变量不一定都出现，因为系数可以有 0）。### 1.1 线性方程组的矩阵形式方程组

可以通过増广矩阵形式描述：

增广矩阵去掉最后一列，就是该方程组的系数矩阵。

矩阵形式只是线性方程组的一种表示形式。今后的很多关于线性方程组的计算，都将在矩阵形式上进行操作，然而你也需要知道，在这些操作进行的同时，线性方程组也在进行类似的变换。比如，将增广矩阵的第一、二行对换，那么同时，它所代表的线性方程组中，第一、二个方程也进行了对调。

1.2 线性方程组的解

解一个线性方程组，就是通过对其矩阵形式行变换（三种方式：交换方程的先后顺序，一个方程左右同乘以某数，和两个方程相加）转换为行阶梯形式。比如

上面最简形式的矩阵对应的线性方程组是

这个线性方程组和一开始的方程组是等价的，只是处于不同的状态，它们的解也是相同的，而显然行最简形式的方程组最容易解，所以我们一般都将线性方程组的増广矩阵转化为行最简形式继而求解。

1.3 解的存在性和唯一性

还记得线性代数时经常讨论的“无解““唯一解”“无穷多解”吧？

首先来看刚才的方程组，经过行变换后，方程组的解已经很显然了：

。这个方程组的解就只有一个，是唯一解。

1.3.1 无解

我们再来看一个方程组：

它的增广矩阵

变换后的矩阵所对应的方程组为

显然，第三个方程

是无解的。对比这个方程组和它对应的增广矩阵，我们可以发现，当增广矩阵的行阶梯形式存在

形式的行时，方程组无解。

1.3.2 有解

当增广矩阵变换为行阶梯形式后，不存在

形式的行，则说明方程有解。我们接下来讨论下它的解具体会是怎么样的。

假设现在有这样一个已经化为行最简形式的增广矩阵：

这个矩阵有 4 列，故而有 3 个变量。相对应的方程组为：

观察这个方程组，x1和 x2 只存在于一个方程中（对应行最简形式中的主元位置），x3 存在于两个方程中。那么我们可以通过 x3来表示 x1和 x2：

上面列出来的实际上就是这个方程组的解集了。x1 和 x2 被称为“基本变量”；x3被称为“自由变量”，因为它在解集里不受任何约束，而基本变量需要自由变量来表示；也就是说，自由变量确定了一个值，基本变量也就随之确定了一个值。上面这个解集形式也被称为方程组的“通解”，因为它给出了方程组所有解的显示表示。

需要注意的是，我们需要先将增广矩阵变换为行最简形式，才能知道谁是自由变量，谁是基本变量。

因为自由变量能取任意值，所以，存在自由变量的线性方程组有无穷多解，而没有自由变量的线性方程组则只有一个唯一解（就像本文第一个方程组那样）。

总结一下：