作者：蔡永福
目录
■背景
■目的
■参考书籍
■理论描述
■计算公式及计算例子
1. σlf晶格摩擦力（lattice friction stress）即派-纳（P-N）力的计算公式
2. σss固溶强化（solid solution strengthening）的计算公式及计算例子
3. σgb晶界强化（grain boundary strengthening）的计算公式及计算例子
4. σdis位错强化（dislocation strengthening）的计算公式及计算例子
5. σsp第二相强化（secondary phase strengthening）的计算公式及计算例子
6. σpre析出相强化（precipitation strengthening）的计算公式及计算例子
6.1 绕过机制
6.2 切过机制
■背景
获得高强高韧材料是材料学科永恒的课题。通常可以采用经典的四大强化（即固溶强化、晶界强化、位错强化、析出相强化）方法来提升强度。有时候会同时使用多种强化机制，以获得更高的强度，或者在不同温度区间发挥不同强化机制的作用，从而开发出能在较宽温度范围内使用的高强材料。区分不同强化机制带来的效果对理解材料的强度，开发新型材料都有很大用途。
■目的
本文旨在阐明不同强化机制的类型，通过列举文献提供计算不同强化机制的公式及计算例子，以方便大家学习并应用到自己的科研中。
■参考书籍
《材料科学基础》第四版 上海交通大学出版社
■整体描述
屈服强度可以被描述为多种强化机制的线性叠加，即
公式中σy为屈服强度（yield stress），σlf为晶格摩擦力（lattice friction stress），σss为固溶强化（solid solution strengthening），σgb为晶界强化（grain boundary strengthening），σdis为位错强化（dislocation strengthening），σsp为第二相强化（secondary phase strengthening），σpre为析出相强化（precipitation strengthening）。σpre析出相强化又可以分为位错的绕过机制（Orowan机制）以及位错切过析出相的强化机制。（材科基P.183-184）
■计算公式及计算例子
1. σlf晶格摩擦力（lattice friction stress）即派-纳（P-N）力的计算公式
参考文献：2023 MD: A great enhancement of both strength and plasticity in a dual-phase high-entropy alloy by multi-effects of high carbon addition
同时可以参考：材科基P.169
计算结果如下，与文献值的142MPa相同。注意G的单位为GPa，而σ的单位为MPa。
FCC的Taylor factor为3.06.
2. σss固溶强化（solid solution strengthening）的计算公式及计算例子
参考文献：2025 Acta: Integrating diverse strengtheners empowers a ferrous high-entropy alloy at ambient and elevated temperatures
上图中的参考文献27和28分别为：
参考文献 27: 2023 MD: A great enhancement of both strength and plasticity in a dual-phase high-entropy alloy by multi-effects of high carbon addition
参考文献 28: 2023 Acta: Strong and ductile refractory high-entropy alloys with super formability
还需要进一步补充文献及计算案例！
3. σgb晶界强化（grain boundary strengthening）的计算公式及计算例子
参考《材科基》P.177
参考文献：2025 Acta: Integrating diverse strengtheners empowers a ferrous high-entropy alloy at ambient and elevated temperatures
上图中的参考文献29和30分别为：
参考文献 29: E.O. Hall, The Deformation and Ageing of Mild Steel: II Characteristics of the Lüders Deformation, Proc. Phy. Soc. Sec. B 64(9) (1951) 742.
参考文献 30: 2013 SM: Grain growth and the Hall–Petch relationship in a high-entropy FeCrNiCoMn alloy
计算结果如下，与文献值相同
4. σdis位错强化（dislocation strengthening）的计算公式及计算例子
参考文献：2024 Science: Shearing brittle intermetallics enhances cryogenic strength and ductility of steels
计算结果如下，与文献值相符。
位错密度的计算案例：（WH法）
参考文献：2016 Acta：A precipitation-hardened high-entropy alloy with outstanding tensile properties
5. σsp第二相强化（secondary phase strengthening）的计算公式及计算例子
参考：《材科基》P.182-183
参考文献： 2023 JAC: Effect of Re and C on mechanical properties of NbTaW0.4 refractory medium-entropy alloy at elevated temperature
参考文献2：2016 MSEA：NbTaV-(Ti,W) refractory high-entropy alloys: Experiments and modeling
ROM：rule of mixture
6. σpre析出相强化（precipitation strengthening）的计算公式及计算例子
6.1 绕过机制
参考文献：2024 Science: Shearing brittle intermetallics enhances cryogenic strength and ductility of steels
6.2 切过机制
参考文献：2016 Acta：A precipitation-hardened high-entropy alloy with outstanding tensile properties