Topological phases, such as Chern insulators, are defined in terms of additive indices that are stable against the addition of trivial degrees of freedom. Such topology presents an obstruction to any Wannier representation, namely, the representation of the electronic states in terms of symmetric, exponentially localized Wannier functions. Here, we address the converse question: Do obstructions to Wannier representation imply stable band topology? We answer this in the negative, pointing out that some bands can also display a distinct type of “fragile topology.” Bands with fragile topology do not admit any Wannier representation by themselves, but such a representation becomes possible once certain additional trivial degrees of freedom are supplied. We construct a physical model of fragile topology on the honeycomb lattice that also helps resolve a recent puzzle in band theory. This model provides a counterexample to the assumption that splitting of an “elementary band representation” introduced in [B. Bradlyn et al., Topological quantum chemistry, Nature (London) 547, 298 (2017)] leads to bands that are individually topological. Instead, half of the split bands of our model realize a trivial band with exponentially localized symmetric Wannier functions, whereas the second half possess fragile topology. Our work highlights an important and previously overlooked connection between band structure and Wannier functions, and is expected to have far-reaching consequences given the central role played by Wannier functions in the modeling of real materials.

中文翻译：

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脆弱的拓扑和Wannier障碍

拓扑相（例如Chern绝缘子）是根据加性指数定义的，这些加性指数对于增加平凡的自由度是稳定的。这样的拓扑结构阻碍了任何Wannier表示，即以对称的指数局部Wannier函数表示的电子状态。在这里，我们要解决一个相反的问题：对Wannier表示的阻碍是否意味着稳定的频带拓扑？我们以否定的方式回答这一问题，并指出某些频段还可以显示不同类型的“脆弱拓扑”。具有脆弱拓扑的频段本身不接受任何Wannier表示，但是一旦提供了某些附加的琐碎自由度，这种表示就变得可能。我们在蜂窝晶格上构建了易碎拓扑的物理模型，这也有助于解决带理论中的一个新难题。该模型提供了一个假设的反例，该假设是[B.]中引入的“基本频带表示”的拆分。Bradlyn等人，《拓扑量子化学》，《自然》（伦敦）547，298（2017）]产生的带分别为拓扑。取而代之的是，我们模型的一半分裂带实现了具有指数局部对称Wannier函数的琐碎带，而后一半具有脆弱的拓扑。我们的工作强调了波段结构和Wannier函数之间的重要且以前被忽略的联系，并且鉴于Wannier函数在真实材料建模中所起的核心作用，因此有望产生深远的影响。该模型提供了一个假设的反例，该假设是[B.]中引入的“基本频带表示”的拆分。Bradlyn等人，《拓扑量子化学》，《自然》（伦敦）547，298（2017）]产生的带分别为拓扑。取而代之的是，我们模型的一半分裂带实现了具有指数局部对称Wannier函数的琐碎带，而后一半具有脆弱的拓扑。我们的工作强调了波段结构与Wannier函数之间的重要联系，而这一点以前曾被忽略，鉴于Wannier函数在真实材料建模中所起的核心作用，因此有望产生深远的影响。该模型提供了一个假设的反例，该假设是[B.]中引入的“基本频带表示”的拆分。Bradlyn等人，《拓扑量子化学》，《自然》（伦敦）547，298（2017）]产生的带分别为拓扑。取而代之的是，我们模型的一半分裂带实现了具有指数局部对称Wannier函数的琐碎带，而后一半具有脆弱的拓扑。我们的工作强调了波段结构和Wannier函数之间的重要且以前被忽略的联系，并且鉴于Wannier函数在真实材料建模中所起的核心作用，因此有望产生深远的影响。Nature（London）547，298（2017）]导致各个波段分别是拓扑。取而代之的是，我们模型的一半分裂带实现了具有指数局部对称Wannier函数的琐碎带，而后一半具有脆弱的拓扑。我们的工作强调了波段结构和Wannier函数之间的重要且以前被忽略的联系，并且鉴于Wannier函数在真实材料建模中所起的核心作用，因此有望产生深远的影响。Nature（London）547，298（2017）]导致各个波段分别是拓扑。取而代之的是，我们模型的一半分裂带实现了具有指数局部对称Wannier函数的琐碎带，而后一半具有脆弱的拓扑。我们的工作强调了波段结构与Wannier函数之间的重要联系，而这一点以前曾被忽略，鉴于Wannier函数在真实材料建模中所起的核心作用，因此有望产生深远的影响。