二 拓扑物态理论拓扑学是现代数学研究的重要分支，它与物理学的结合所产生的拓扑物理学，是当代凝聚态物理的主要前沿方向之一。20世纪70年代，苏联的 Berezinskii与英国的Kosterlitz和Thouless在理论上独立提出了一类新的相变，其机制是序参量的涡旋的凝聚导致的二维体系中准长程有序的破坏。由于涡旋具有非平凡的拓扑结构，因此这类相变后被称为拓扑相变，它的提出代表了拓扑物理学的开端。20世纪80年代，美国的Haldane发现一维自旋链上的有效场论中的拓扑项（θ−项）决定了基态的简并度等重要性质。几乎同时，包括Thouless在内的研究团队，指出量子霍尔效应中量子化的电导与拓扑学中的“陈（省身）示性类”之间的定量联系。这两项工作，用拓扑学中的概念和理论描述量子物态，开创了拓扑物态的理论研究。拓扑态的提出标志着人们发现了一类新的全局的、宏观的量子数，即拓扑不变量。“宏观”表示其可以在宏观大小的系统上定义；“量子”代表该物理量的取值如原子轨道的能量一样是分立取值的。量子霍尔效应/量子反常霍尔效应的霍尔系数就是一个拓扑不变量。从一般的物理常识来看，“宏观”和“量子”似乎是矛盾的，因为量子力学通常被认为是研究微观粒子和过程的理论，而如质量、体积等宏观物理量都是连续取值的。但在拓扑物态中，或者说在拓扑不变量中，这二者被统一起来。Kosterlitz、Thouless和Haldane三人因其在拓扑相变和拓扑物态研究上的开创性贡献，获得了2016年诺贝尔物理学奖。2005年是拓扑物理学发展史上的重要节点。在这一年美国张首晟等与Kane 和 Mele独立提出了由时间反演对称性所保护的“拓扑绝缘体”。从此人们意识到，将对称性与拓扑性质结合考虑，将可能产生一系列由对称性保护的拓扑物态。与之前人们研究的拓扑物态相比，拓扑绝缘体有一些明显的“优势”，这使得其一经提出，就点燃了拓扑物态研究的热潮。首先，与陈绝缘体、量子霍尔效应和量子反常霍尔效应不同，拓扑绝缘体的实现不需要引入磁性或者磁场，这使得其更容易在实际材料和实验室中得以发现和实现；其次，与自旋系统的拓扑物态不同，拓扑绝缘体的实现不需要引入电子关联，这使得人们可以直接通过第一性原理计算相当准确地判断一个材料是否属于拓扑绝缘体；最后，理论学家指出拓扑绝缘体的形成机制是电子能带中“反带”的出现，这为人们在能带结构中筛选拓扑材料提供了重要的线索。在拓扑物态理论发展的这一关键时期，我国在拓扑材料的计算和预言方面，走在了世界前列。最早被实验证实的三维拓扑绝缘体中的和 ，是由我国方忠、戴希与美国张首晟等的联合团队首先在理论上预言的。他们在这一工作中指出 和 中的反带是化学键、晶格势和自旋轨道耦合共同作用的结果，并根据 Fu-Kane 公式通过布里渊区高对称点的能带的宇称，预言了材料中非平凡的拓扑不变量。三维拓扑绝缘体在层状材料中的发现，很快重新激发了人们寻找量子反常霍尔效应的希望。2010年，我国方忠、戴希和美国张首晟等设想，如果用磁性杂质形成的铁磁序破坏拓扑绝缘体薄膜的时间反演对称性、打开磁性能隙，整个薄膜就可以看成是一个量子反常霍尔态。这一设想后来被我国物理学家薛其坤等在实验中实现。这是人们首次在实验中获得了这一拓扑物态，获得了广泛的关注。与拓扑绝缘体理论平行发展的是拓扑半金属的理论。2007年，日本的村上修一在理论上考虑了三维拓扑绝缘体与常规绝缘体之间相变的过程，指出在空间反演对称性破缺的前提下，两个绝缘体相之间存在一个中间相。该中间相具有线性色散的能带交点—外尔点。2011年，我国万贤纲和美国 Vishwanath等研究了烧绿石结构的铱氧化物，发现随电子关联强度变化，该体系可能存在轴子绝缘体相和莫特绝缘体相，在这两个相之间存在费米面通过外尔点的半金属相。他们把具有此类费米面的半金属称为外尔半金属，并且指出了外尔半金属表面上“费米弧”的存在：费米弧是开放的一段弧线，这跟传统金属中闭合的费米面形成了强烈的对比，为实验上甄别此类拓扑材料提供了“黄金标准”。2015年，我国翁红明等，与美国 Bansil 等人，同时、独立预言了 TaAs 在常温常压下即为外尔半金属。TaAs 很快成为首个在实验中被证实的外尔半金属材料。外尔费米子最早在量子场论中被提出，是无质量的复数费米子场量子化的结果。人们在基本粒子中未能发现外尔费米子，却在凝聚态体系中发现了在低能量、长波极限下满足外尔方程的电子激发。除了外尔点，人们还在拓扑半金属中发现了狄拉克点、线节点等具有拓扑性质的能带交点。寻找、探索拓扑能带交点，并研究它们的奇异物性，已经成为拓扑物态研究的主要分支之一。除了时间反演不变性，凝聚态体系中还有一大类常见的对称性，即晶体对称性。数学上，用来描述对称性的工具是群，人们已经发现三维空间中晶体的对称群共有230个。正如时间反演不变性保护了拓扑绝缘体，空间对称性是否能够带来新的拓扑态呢？2011年，美国的傅亮在一类特殊的模型中指出这是可能的，于2012年在 SnTe 中预言了这一拓扑物态的存在，并称之为“拓扑晶体绝缘体（TCI）”。早期的 TCI 理论，集中于研究被镜面/滑移面保护的拓扑物态。2017年，我国的方辰等、美国的 Bernevig、Hughes 等和德国的 Y. Peng 等，独立、同时指出在三维晶格中，存在着一类由旋转轴或镜面保护的拓扑物态，其特点是在侧表面的棱边上，有着一维无能隙的边缘态。这类拓扑物态后被称为“二阶拓扑绝缘体”。二阶拓扑绝缘体理论的意义在于它完善了拓扑物态中“体边对应原理”的内容，指出存在着比体态小两个维度的拓扑边界态的可能。这一理论后被拓展到更广泛的物理体系（如强关联体系）中，发展为被称为“高阶拓扑物态”的研究子领域。2018年，人们继而证明了，二阶拓扑绝缘体与一阶拓扑绝缘体，就构成了全部230个空间群中的所有可能的拓扑绝缘体。与高阶拓扑物态理论平行快速发展的，是由美国Vishwanath等和Bernevig 等独立提出的“对称性指标/拓扑量子化学”理论。该理论是拓扑绝缘体研究早期Fu-Kane公式在所有晶体群和高阶拓扑绝缘体上的重要推广。简言之，根据该理论，人们可以仅仅根据布里渊区几个高对称点的价带波函数的对称性质，完成材料是否为拓扑绝缘体的快速判别。2018年，我国方辰等和美国 Vishwanath等强化了该理论，使得人们不仅能快速判断“是否为拓扑绝缘体”，还能够一并获得所有可能的拓扑不变量，将诊断的准确度从“定性” 升级到“ 定量”。2019年，我国方辰等、万贤纲等、美国Bernevig等的三个独立研究团队，根据“对称性指标/拓扑量子化学”理论在数万种已知结构的材料中，预言了逾8000种拓扑电子材料，并据此建立了拓扑电子材料目录。 三 凝聚态理论中的数值计算原则上，从物理学基本原理出发，通过求解物理学中的各种数学方程，就可以对凝聚态系统的行为给出精确的描述。但由于涉及大量（趋于 ）微观粒子的体系，长期以来，凝聚态物理的研究主要以实验为主。在理论研究方面，除少数模型体系能够严格求解外，众多复杂的实际问题因无法建立准确模型或无法求解而无从下手。长期以来，如何理解和准确描述凝聚态体系的演生现象是实验和理论物理的重大挑战。20世纪40年代以来，随着计算机技术的迅猛发展、计算能力的快速提高以及计算理论方法的不断改进和完善，通过计算的方式来研究复杂物理体系的性质，逐步成为与实验物理和理论物理并行的一个新的研究范式。在凝聚态物理中，基于密度泛函理论的相关计算方法，在理解价态电子主要由原子 s、p 轨道电子构成、弱关联的电子系统的物理本质，探讨其基态性质和设计新型功能材料等方面取得了诸多成果，得到了学界广泛关注。2014 年Nature杂志在 ISI 汤森路透成立50周年之际分析了科学论文的引用情况。他们的统计数据表明，自1900年以来，在人类发表的所有论文中，引用最高的前10篇论文里有2篇属于计算凝聚态领域中密度泛函理论方法的论文。图1展示了以“密度泛函”“第一性原理计算”为关键词在 ISI 上的论文检索的结果，可见密度泛函理论计算方面的科学论文逐年快速增长，由1990年的不到500篇/年快速增长到了2018年的30000多篇/年。这些都充分地说明了计算在凝聚态物理等学科中起到了越来越重要的作用，成为人们研究凝聚态物质以及相关体系的主要手段和得力工具。图 1 ISI 检索“密度泛函”“第一性原理计算”关键词得到的论文发表数随出版年份的变化情况另外，在研究有未满的 d 或者 f 电子的电子关联较强的体系时，上述的密度泛函理论方法有很大的局限性。在研究这类电子间的库仑相互作用与量子涨落都很强的体系时，传统的比如微扰论等研究方法并不适用。为了解决这些问题，人们发展出了严格对角化；数值重正整群；量子蒙特卡罗模拟；动力学平均场等方法。在理解铜氧化物高温超导体、铁基超导体、庞磁阻、重费米子、量子临界等关联量子现象时起到了关键性的作用。如前所述，目前虽然以凝聚态计算为代表的当代计算物质科学方法已经在物理及其交叉领域取得了很大的成功，但是随着高科技的日新月异以及人们对认识世界的不断追求，计算物质科学的发展面临新的挑战和机遇。以当前应用最广的基于密度泛函理论的第一性原理计算方法为例，它们把先进的计算技术（例如快速傅里叶变换）与赝势方法完美结合，成功地描述了原胞内含 个原子的周期性体系在弱外场、平衡或近平衡态下的物性，并且在预言新功能材料等方面发挥了重要作用。然而，随着对凝聚态体系在强场、非平衡态等真实使役环境下新物理、新现象、新效应研究的深入，人们发现在已有的计算物质科学理论框架之内，简单地将当代计算理论方法和软件拓展到更大更复杂的真实体系，仅仅依靠计算机速度的提升是无法解决的。这是因为，一方面，由于所涉及的原子个数远大于目前能够处理的范围，基于周期性边界条件的传统方法变得低效甚至无效。另一方面，从物理原理来看，已有的第一性原理计算方法基于密度泛函理论，物理上只保证总能量和电荷密度的正确性，但是很多物理量和物理现象涉及真实波函数及其相位，因此原则上这些方法有局限性。虽然，事实上过去已经采用第一性原理计算中的科恩−沈（Kohn-Sham）波函数来探讨物理性质，并取得了很大的成功，但是，对于更复杂（如关联效应强、远离平衡态）的体系，Kohn-Sham波函数可能与真实波函数相差甚远。此外值得提及的是，诸如巨磁电阻效应、量子霍尔效应等全新物性和颠覆性技术的发现，以及使役环境下器件性能的调控和改善，都与物质与外场的相互作用密切相关。如果可以精准模拟真实物质体系在强场下的行为，就有可能预言新的量子现象，真正实现计算走向与实验并肩，甚至在实验达不到的极端条件下替代实验。然而，当代的计算物质科学方法在计算和模拟凝聚态体系与强场的相互作用方面面临巨大挑战，它的困难不仅涉及非周期性的外场，还涉及激发态和非平衡态的计算和模拟。另外，深入地理解高温超导机制、寻找量子自旋液体等全新的关联电子系统、非平衡以及非厄米量子系统、量子蒙特卡罗方法中的负符号问题、发展和完善张量重正化群方法、发展基于人工智能驱动的研究量子多体系统的新方法等也是当前的趋势。在计算凝聚态物理及其相关领域，世界各国都投入了大量的人力和物力。早在1981年，美国就在其国家科学基金会物理咨询委员会中成立特别小组，以推进计算物理的发展。为鼓励不同研究团队之间的合作以及集体攻关，2015 年欧盟推出了“创新中心”（centers of excellence）计划，投资成立了 E-CAM 、NOMAD 和 MaX 等3个计算物质科学方面的中心，每个中心均有 10余名活跃的研究者。这些研究者分属不同的欧盟国家，在计算理论方法的发展、计算程序的编写、材料性能的预测、数据库的发展、对研究者的培训以及和工业界合作等诸多方面进行实质性合作。我国对于计算物质科学亦高度重视。2012年把计算物理正式定为物理学的二级学科（代码：140.75），同时进行了有关计算物理的规划和布局工作。这些得力的举措大大推进了我国计算凝聚态物理学科的快速成长。我国在计算凝聚态物理领域已经有了快速发展的基础，在若干研究方向特别是方法的应用上已经达到国际领先水平。目前，我国每年发表的与计算凝聚态物理相关的科学论文数目快速增长，由20世纪90年代远少于西方发达国家，到2014 年超过了美国，跃升为世界第一，其中涌现出来一批有重大国际影响的研究成果。目前，和国际先进水平相比，我们在核心计算方法上还缺乏突破，其次国内研究人员大多数采用国外的软件，我们的工作大部分停留在使用他人的方法和程序来解决问题的应用层面。
作者简介
周毅，中国科学院物理所研究员。1998年本科毕业于清华大学物理系，2004年1月在清华大学高等研究院获得博士学位。曾在德国马克斯-普朗克-物理中的复杂系统研究所（德累斯顿）、香港科技大学、香港大学、香港中文大学做博士后研究。曾任浙江大学教授。从事理论凝聚态物理的研究，涉及超导、磁性、电子关联系统和拓扑系统，发表论文70余篇。曾应邀为《Nature Physics》与《Reviews of Modern Physics》撰写评论与综述文章。 方辰，中国科学院物理研究所研究员。2004年毕业于北京大学物理学院，2011年于美国Purdue University获得博士学位，2012-2015年于美国Princeton University、麻省理工学院等学校任博士后研究助理，2015年底入职中国科学院物理研究所。主要工作方向包括拓扑能带理论、非厄米能带理论和量子多体动力学理论。曾独立提出“高阶拓扑绝缘体”“拓扑词典”“非厄米趋肤效应的拓扑起源”等概念和理论。万贤纲，南京大学教授、博士生导师。1994年本科毕业于南京大学，2000年于南京大学获得博士学位。主要研究兴趣为采用第一性原理和有效模型相结合的手段研究具有强自旋轨道耦合的关联电子体系。获得2014年度香港大学Daniel Tsui Fellowship。2015年获得国家杰出青年科学基金；2016年被评为教育部长江学者特聘教授。获中国物理学会2018-2019年度叶企孙物理奖。2019年获腾讯基金会“科学探索奖”。2020年获第二届全国创新争先奖。