利用有限热源实现理想气体多方过程

原创马宇翰京师物理

作者：马宇翰

北京师范大学物理学系

中国工程物理研究院研究生院

在通常的热力学教科书中，理想气体多方过程的引入是作为等温过程和绝热过程在形式上的直接推广。在学习完等温过程：

PV=

常数、绝热过程：

PV^{\gamma}=

常数后，让学生接受存在关于理想气体的更一般热力学过程：

PV^{\xi}=

常数似乎是自然而然的，这一过程就是所谓的多方过程。这里，

P

和

V

分别是气体的压强和体积，

\gamma

是绝热指数（气体的等压与等容热容比），

\xi

被称为多方指数，其数值可以根据具体热力学过程而定。

然而，除了形式上推广的便捷性，关于多方过程的起源和细节一般在教学中被忽视了。我们知道，将气体与恒温热源接触并准静态地使其压缩或者膨胀即是等温过程；而将气体与环境隔热，准静态地使其压缩或膨胀就是绝热过程。这两个典型热力学过程的实际起源非常清晰。对学生而言，多方过程方程究竟描述的是什么样的实际热力学过程？是一个会自然产生的追问。

在近日《美国物理杂志》发表的文章[Yu-Han Ma, Am. J. Phys. 91, 555 (2023)]中，我们给出了一个简单的热力学模型来实现理想气体多方过程。这一模型可用于本科阶段的热力学教学中，帮助学生进一步理解多方过程及其可能的实际实现方式。也能让学生注意到有限系统中的有趣热力学现象，这与非平衡热力学领域对有限热源间的基本热力学约束和热力学循环优化的研究[1-5]有直接联系。还可以进一步用于讨论有限尺寸效应对有限时间热力学[6,7]中如熵产生和不可逆功等物理量[8]以及热机的功率效率约束关系[9,10]的影响。

以下，我们简单介绍这一模型和由此得到的若干有趣结果。

气体与有限热源间的准静态能量交换

我们的模型如下图所示

具有热容为 $C_g$ 温度为 $T_g$ 的理想气体和一个温度为 $T_r$ 有限热源接触，且导热良好。这里，热源有限是指其具有有限自由度，由热容 $C_r$ 表征。气体可以由一活塞压缩或者拉伸，气体和热源整体与外界绝热。考虑气体在整个过程中体积准静态变化，因此热源与气体时时刻刻处于热平衡状态，即 $T_g=T_r=T$ 。在通常的热力学中，热源一般被视为无穷大的恒温系统，具有无限大的热容。而在我们的模型中，热源具有有限热容，其温度会因为与气体的传热而发生改变，这是气体与其交换能量对其的反作用的体现。

考虑气体和热源组成的整体内能变化只能由活塞做功实现（内部有传热，而与外界绝热），则我们可以列出

$\begin{equation}(C_g+C_r)dT=-PdV=\frac{Nk_{\mathrm{B}}T}{V}dV\tag{1}\end{equation}$

(左右滑动查看完整公式)

其中，第二个等号由理想气体状态方程给出，

N

是所考虑气体的分子数，

k_{\mathrm{B}}

是玻尔兹曼常数。求解这一关于气体温度和压强的微分方程，即可得到

$\begin{equation} PV^{\xi}=\text{常数，}\xi=\frac{\gamma+C_r/C_g}{1+C_r/C_g}\tag{2}\end{equation}$

显然，这就是一个典型的多方过程，且多方指数 $\xi$ 由热源与气体的热容比确定。 $\gamma=1+Nk_{\mathrm{B}}/C_g$ 是绝热指数。

对于不同的气体-热源热容比，得到的气体PV图如上图所示，其中红色虚线和黑色实线分别是取 $C_r/C_g\to\infty$ 和 $C_r/C_g\to 0$ 的极限得到的。这两个极限正好对应理想气体的等温过程和绝热过程：首先， $C_r/C_g\to\infty$ 意味着热源热容无穷大，则在与气体传热时其温度不发生改变，这就是通常我们熟悉的无限大恒温热源，因此气体在其中的准静态演化过程是等温过程；而 $C_r/C_g\to 0$ 意味着热源消失，这时气体经历的自然是绝热过程。值得一提的是，对于 $C_r/C_g\in (0,\infty)$ ，有 $\xi\in(1,\gamma)$ ，这种情况下我们的多方过程只能实现从等温到绝热过程的过渡，是无法达到等压过程( $\xi\to 0$ )和等容过程( $\xi\to\infty$ )的。这两个典型过程和更大范围多方指数的实现要求热源的热容为负值，可以参考我们原始论文中的详细讨论。

能量转换及实验实现

基于(2)式给出的多方过程方程，很容易得到气体在与有限热源接触时的能量改变（具体结果请参考原文第三节）。以气体对外膨胀做功为例，该过程的做功和传热关于热源-气体热容比的变化如下图所示

图中，纵轴的能量变化由等温过程的做功

W_{\mathrm{iso}}=Nk_{\mathrm{B}}T\mathrm{ln}(V_f/V_0)

归一化。上图中，做功（黑色实线）随着热源-气体热容比的增大而增大，直至趋于等温过程做功。而气体从热源吸的热随着热源气体热容比的增大，从0开始增大至等于等温过程做功，即在绝热过程吸热为0，等温过程吸热等于对外做功而气体内能不变。上图从能量转换的角度很好的阐释了从绝热过程到等温过程的过渡。当

C_r\gg C_g

时，保留到

C_g/C_r

的一阶，可以证明做功近似为

$\begin{equation} W\approx W_{\mathrm{iso}} \left(1-\frac{\gamma-1}{2C_r/C_g}\right)\tag{3}\end{equation}$

这一

1/C_r

的修正项在近期一些关于有限热源的热力学和统计物理的研究中亦有得到[11-14]，体现了系统对其交换热量的有限热源的反作用。

最后，我们给出了所提出模型的可能实验实现方案，如上图所示。在特殊设计的气缸中，装入一定量的物质充当有限热源，如（a）气体热源，（b）液体热源，（c）干燥沙砾热源。在气缸中充气后，密闭整个装置，并在外层做隔热处理，保证实验过程中整体与外界近似绝热。缓慢压缩或者拉伸活塞，用传感器记录气体压强和体积的变化，绘制实验得到的气体PV图。实验中，热源和气体的热容比可以由加入的热源材料及物质的量与充气多少确定，得到的PV曲线的多方指数即可和用热容比计算得到的对比。以沙砾热源为例，若充当热源的沙砾为一汤勺（20g，

C_r\approx 20\mathrm{J/K}

），气体为室温下10L的空气，则得到的多方指数约为

\xi\approx 1.13

。

参考文献

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[1] M. J. Ondrechen, B. Andresen, M. Mozurkewich, and R. S. Berry, Am. J. Phys. 49, 681–685 (1981).

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[12] J. G. Richens, A. M. Alhambra, and L. Masanes, Phys. Rev. E 97, 062132 (2018).

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