理论物理学的第一课：最小作用量原理

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如果要罗列一张最美公式的清单，那么 F = ma 肯定榜上有名。这个公式表达的是力(F)等于质量(m)乘以加速度(a)，它告诉我们的是，推动一个空的购物车要比一个装满食品的购物车更加容易。它与牛顿的另外两大运动定律，为经典力学奠定了基础。

通过牛顿力学，我们可以计算出物体的运动方式。例如，飞机起飞需要多少升力、火箭升空需要多大的推力，等等等等，都可以用F=ma来计算。我们可以通过它来理解真实世界的运作方式，这是一件多么美妙的事啊。

那么，除了牛顿力学外，是否还存在着其它更好的方式来理解世界的运行呢？答案是有的，这个更好的方式发现于牛顿之后的100 - 150年。当时，拉格朗日、欧拉和哈密尔顿这样的数学物理巨匠，对经典力学进行了重新表述。新的方式之所以更好，主要表现在以下几个方面：

• 首先，它很简洁。这种简洁是理论物理所应该具备的。

• 其次，它很强大。它提供了一种相当直接的新方法来解决复杂的问题。
  

• 最后，也是最重要的，它具有普遍性。它提供了一个框架，可以被扩展到所有其它的物理定律，并且揭示了经典力学和量子力学的深层联系。

在本文中，你将感受到这个思考事物的新方式为什么会是物理学中最深刻的结果之一。但是，正如许多其它深刻的结果一样，它有个非常缺乏想象力的名字：最小作用量原理。

看待事物的新方式

【回顾牛顿力学】

我们先简单的回顾一下牛顿力学。这里，考虑一个在位置r(t)的粒子，受到力F的作用。这个力可以从几个不同的力得到：

○  假设一个粒子，从起点移动到终点，由于受到作用力，且该作用力所做的功与移动路径无关，则称此力为保守力。引力和静电力都是保守力，但摩擦力不是。

经典力学的目标就是解出不同的力（比如引力、电磁力或摩擦力）的微分方程（如公式①）。如果力F是保守力，那么力就可以表示为公式 ②，其中V(r)表示势能。这时，牛顿方程便可以写成：

这是一个二阶微分方程，它的通解有两个积分常数。在物理上，这意味着我们需要指定粒子的初始位置和初始速度，才能找出粒子最终会出现在哪里。

【一个更好的方式】

现在，我们不指定初始位置和速度，而是选择指定初始位置r(t₁)和最终位置r(t₂)，并考虑连接这两个位置的所有可能路径：

○  粒子从一个点到另一个点可以采取所有可能的路径。

那么现在的问题是，在众多路径中，粒子究竟会选取哪一条？

现在，让我们要做一些看似奇怪的事，给每一条路径r(t)分配一个数字，我们称之为作用量（action）：

公式④中的被积函数便是拉格朗日量(L)，它表示的是动能与势能的差值。这里，我们将得到一个非常重要的结果：

粒子所选取的路径是作用量的极值。

或许你还记得在学习函数时，如果我们要找到函数的极值，那么只要将函数微分，并使它等于零就可以了。但是作用量并不是一个函数，而是一个泛函——函数的函数。因此要证明它我们就需要用到所谓的“变分法”。这里，我们将省略这一结果的证明过程。值得一提的是，当我们取作用量的极值（δS = 0）时便会发现，我们最终会得到公式③。要求作用量是极值等价于要求路径服从牛顿的方程，这是多么令人惊叹的结果。

哥伦比亚大学的物理和天文学教授Janna Levin在2017年Edge提出的年度问题“什么样的科学术语或概念更应该被广为人知？”中就推荐了“最小作用量原理”。她写道：

更简单的说，最小作用量原理可以被表述为最小阻力原理。如果你在半空中投放一颗球，它会沿着最短的路径下落到地面，这是在引力的作用下受到最小阻力的路径。如果球没有沿着最短路径下落，例如它绕着不断扩大的圆环旋转，并且还返回到空中，你就会知道还有其他的力在起作用——可能是一根隐藏的绳子或一阵狂风。这些额外的力会在它们的数学描述下，让球沿着最小阻力的路径运动。最小作用原理是一个古老的原理，它能让物理学家能在短短一行公式里，分享人类历史中最深奥的那些概念。用这一行简短的数学描述来计算在可能空间中的最短路径，将能让你发现宇宙起源的故事以及我们宇宙的生态系统的演化。

物理学的统一

拉格朗日法已经遍及所有的物理学，而不仅仅只是停留在力学。所有物理学的基本定律都可以用最小作用量原理来表示。对于电磁学、狭义和广义相对论、粒子物理学，甚至是追求超越已知物理定律的弦理论，都是如此。

一旦你掌握了所有这些概念，我们就可以将已知的物理写在一个公式中。（几乎）所有曾经进行过的实验，都可以由标准模型的拉格朗日量来解释：

○  每一项上的名字，都是其理论的发现者。

如果你无法理解这些符号，不要担心，你可以把这个公式当做艺术来欣赏。这里，我只简单地介绍每一项分别代表了什么：

前两项描述了自然界中的四种基本力。在第一项中，引力由时空曲率R表示，爱因斯坦的广义相对论是目前描述引力最精确的理论。“麦克斯韦”描述了电力和磁力，它们只是单一的电磁力的不同表现。“杨-米尔斯”是麦克斯韦理论的扩展，它告诉我们与强核力（将原子核束缚在一起的力）和弱核力（支配放射性的基本作用力）有关的信息。

第三项是由保罗·狄拉克在1928年所发现的。在思考如何结合相对论和量子力学时，他发现了一个可以描述基本粒子（如电子）的方程。该方程也预言了反物质粒子的存在，并于1931被验证。狄拉克方程描述了所有已知的物质粒子，包括电子、中微子和夸克，以及它们对应的反粒子。

但是，这些粒子是如何获得质量的？这个问题曾困扰着许多物理学家，最后的几项——“希格斯”和“汤川”——就回答了这个问题。

所有已知的基础物理都被简洁地写在了一行公式中，这是多么振奋人心的成就。这一结果，无疑激励了许多的学子踏上成为一名理论物理学家的道路。

从经典到量子

【嗅出路径】

从上文中我们已经知道，最小作用量原理赋予了我们一种看待事物的不同方式：

在牛顿的方法中，粒子运动的方式如下：在每个时刻，粒子都在想“我现在要去哪里？”它环顾四周，看到势能，将它微分，然后它说“啊哈，我往这边走。”接着，在一个无限小的时刻之后，一切又重新开始。

但是在拉格朗日法中则有着非常不同的观点。现在，粒子所要采取的是作用量最小化的那条路径。那么，它又是如何知道哪条路径是最短的呢？在它决定要走哪条路径之前，它是否查看了所有可能的路径？

在某种程度上，这种哲学上的思考是没有意义的。毕竟，这两种方法是完全等价的。但是，当我们超越经典力学，而讨论量子力学的时候，这种局面就改变了。我们发现，粒子确实嗅了所有可能的路径！

【费曼的路径积分】

刚才我们说到了一个自由粒子从 r(t₁) 到 r(t₂) 只采取了一条路径，但根据量子力学，事实上它采取了所有可能的路径：

的确，这听起来很不可思议。但量子力学告诉我们，所有可能发生的都会发生。不过它们是有概率性地发生。在最深的层面，自然就是概率性的，事物的发生是随机的。这是量子力学的关键洞见。

要解释这个问题，首先，我们可以为每一条路径指定一个复振幅：

这里每条路径都有自己的相，它是路径的作用量的值（单位为ћ=普朗克常数/2π）。

接着，粒子从 r(t₁) 到 r(t₂) 的概率为：

其中A表示振幅，它是一个复数。振幅的计算需要对粒子能走的所有路径求和，并且在求和中，其中每一路径都由该路径的相定义；由此，我们就可以得出概率。回想一下，复数可以表示为二维xy-平面上的小箭头。箭头的长度表示复数的大小，而相表示相对于x-轴的角度。换一种说法，每条路径可以用具有相（角度）的小箭头表示。把所有箭头加起来，然后平方，就会得到概率。这便是费曼的路径积分，有时也被称为历史求和。

我们可以通过以下方式来更具象地思考这个问题：当一个粒子移动时，它确实采取了所有可能的路径。但是，在远离经典路径（即远离作用量的极值）的情况下，相邻的路径之间的作用量变化很大，因此不同路径的总和平均为零：

也就是说，远离经典路径，小箭头表示每个路径点在随机方向上的复振幅，它们之间会相互抵消。

只有在接近经典路径（即接近作用量的极值），邻近路径的相才会相互加强：

也就是说，接近经典路径，小箭头表示每个路径点在相同方向上的复振幅，因此它们会相加。这就是经典物理是如何从量子物理出现的。

【眼见为实】

显然，到这里，你可能还是不相信量子粒子采取了所有可能的路径。现在让我们考虑一个实验，朝一个带有双缝A和B的屏幕发射电子，一次一个：

在牛顿物理中，每一个电子要么会通过A，要么通过B。因此，我们预期在屏幕后面会看到两条并排堆积而成的电子。但是，结果是如此简单的话就显得了无生趣了。那么，我们看的了什么？我们看到的是一系列明暗条纹的分布（如下视频所示）！在量子物理中，每一个电子看起来就好像是同时通过了A和B，因此它们会相互干涉！这看起来是如此的难以置信，但却正是自然真实的运作方式。

在下一堂课中，我们将看到更多关于量子力学的奇异性质。