黑洞与蝴蝶效应

D. Stanford 中科院物理所

在一个复杂系统的状态上出现的微小变化，能在不久之后导致剧烈的变化。这一现象被称为蝴蝶效应。早在物理学家对其产生浓烈兴趣之前，这一概念就在许多文学和影视作品中出现过，如电影《生活多美好》（1946）以及科幻小说《雷鸣之音》（1952）等等。

巴西丛林一只蝴蝶偶然煽动翅膀，可能会在美国德克萨斯州掀起一场龙卷风。

关于混沌最令人惊讶的事情之一便是物理学家花了很长的时间才意识到它的普遍性。混沌学研究的历史空缺之所以出现，部分原因是因混沌系统往往难以分析。所以，尽管非混沌系统（即小变化不会产生大影响）是非常罕见的，但有一个强大的选择效应能有利于对它们的研究。在20世纪60年代，计算机让这一情况发生了根本性的转变。计算机在解决经典物理方程方面表现非常出色，对许多不同系统的数值研究能让经典混沌出现百花齐放的景象。

可惜的是，计算机在模拟量子系统——尤其是在量子场论（量子粒子间相互作用的理论）方面的能力并没有表现出同等的强大。这是因为量子系统的模拟对存储器和中央处理原件的要求与所涉及的粒子数量呈指数增长。在很大程度上，我们对这些系统的理解仅限于可用笔算解决的问题。而且，正如在经典物理学中一样，这些系统通常不包括那些足够复杂到能表现出混沌的系统。所以在量子混沌方面，我们或多或少仍处于无知的黑暗之中。

大约在20年前，普林斯顿高等研究学院的胡安·马尔达西那（Juan Maldacena）教授提出的 AdS/CFT（反德西特/共形场论）对偶为此推开了一扇小窗。这种对偶的一个特例恰好是混沌的量子场论（在有限温度下的强耦合的N很大的超杨·米尔斯理论）和广义相对论中最简单的一个物体——黑洞——之间的完美等价。这意味着对这个特例来讲，我们可以使用相对较简单的黑洞动力学来分析难度甚大的量子场论中的混沌动力学。

在进一步讨论前，我们先了解一个用来测试蝴蝶效应的思想实验。这个思想实验可通过考虑一个我们熟悉的混沌系统——一池热水——的不寻常态来进行说明。想象这是满满一池具有非常特殊性质的水：假如我们不去管它，那么在几分钟之后，一个小小的漩涡就会自发形成于表面的某个地方；如果我们在浴池的某处添加一个额外的水分子，然后静静等待，查看小漩涡的情况。对整个系统做出的这个微小的改变随着时间的推移而被放大，在几分钟之后，发现漩涡没有出现。这是对混沌的一个强烈的诊断。

现在我们进行同样的实验，不过需要将一池水替换成黑洞。首先，我们需要一个在几分钟内形成漩涡的状态类比。最简单的方法就是考虑在未来的某个时刻 t 上，黑洞所处的状态会发出一个额外光子。我们把额外的光子称为W。然后，在W出现之前，它将非常接近事件视界（event horizon），在一个只能勉强逃脱的轨道上行进。如果 t 在很远的未来，那么在 t 时刻的最终安全逃离之前，这种类型的轨迹会非常贴近事件视界一阵子。这种情况显示在下图中（a）的部分。

由黑洞实现的蝴蝶效应：一个小的微扰（b中的红色粒子）可能对一个本可逃脱的粒子（蓝线）的命运产生重大影响。| 图片来源：Douglas Stanford/IAS

在思想实验的第二步里，我们要给整个系统添加一个小的微扰。最简单的操作就是想象我们刚把一个额外的粒子扔进黑洞。这能使黑洞变得再大一点点。尤其是，这个额外的粒子会将事件视界往外推出一点点。现在的重点是：如果时间 t 是在足够远的未来，那么在零时刻 W 会极度接近事件视界，以至于再微小的质量增加也足以让黑洞捕获到W。因此漩涡不会形成！这个情况在上图示中（b）的部分进行了说明。

我们还能对此进行更详细的分析，发现微扰效应对“旋涡”W的影响强度会随着时间差 t 的增加呈指数增长（exp{λt}），其中λ等于温度的2π倍。Douglas Stanford、Maldacena 和Steve Shenker 发现，这种指数增长速度是量子力学中可能的最快速度。所以，虽然听起来这像是个很简单的效应，但实际上这显示的是自然法则所允许的最强的混沌。

加州理工学院的 Alexei Kitaev 发现了一个可以通过直接计算来分析这类思想实验的量子系统，且不经过 AdS / CFT 对偶和黑洞。Kitaev发现他的系统具有与上面描述的系统有相同的增长率：温度的2π倍。这显示了一种有趣的可能性，即 Kitaev 的模型就是一个伪黑洞。

这是非常令人兴奋的，因为对黑洞的可解描述或许有助于揭示与量子引力有关的一些深层奥秘。通常来说，（如上述所讨论）我们利用AdS / CFT 对偶来研究量子场论是通过使用引力和黑洞。但这个可解的系统或许能反过来将 Kitaev 的模型用来研究引力。

而我们最希望学到的一课可能就是如何用双量子系统来描述黑洞视界之后的区域。将它与装有水的浴池作类比，这可能有点像追寻一个永远不会形成的漩涡的数学理论。这是一个如此顽固的问题，致使一些科学家甚至认为这个区域根本不存在！但是，有许多人对这一问题的高度关注，或许能使我们很快地知道答案。也许我们应该从过去的成就中去学习，去科幻小说一类的文学作品中寻找提示。

文：Douglas Stanford（2018年科学突破奖/物理学新视野奖得主）

译：二宗主

原文链接：

https://www.ias.edu/ideas/2017/stanford-black-holes-butterfly-effect